45'in çarpanları nelerdir? 1, 3, 5, 9, 15 ve 45.
Bu sayıları nasıl bulduğumu merak mı ediyorsunuz? Faktoring! Daha karmaşık sistemler için matematiksel bir temel sağladığından, nasıl çarpanlara ayrılacağını öğrenmek çok önemlidir. Dolayısıyla, ister bir cebir sınavına çalışıyor olun, ister SAT veya ACT sınavını tazeliyor olun, ya da sadece tazelemek ve daha yüksek matematik seviyeleri için sayıları nasıl çarpanlara ayıracağınızı hatırlamak istiyorsanız, bu sizin için bir kılavuzdur.
Faktoring Nedir?
Faktoring hedef sayıya eşit olacak şekilde başka bir tam sayıyla çarpılabilen her tam sayıyı bulma işlemi . Her iki kat da hedef sayının faktörleri olacaktır.
Sayıları çarpanlara ayırmak sıkıcı bir görev veya nihai hedefi olmayan ezberleme gibi görünebilir, ancak çarpanlara ayırma çok daha karmaşık matematiksel süreçlerin omurgasını oluşturmaya yardımcı olan bir tekniktir.
Nasıl çarpanlara ayrılacağını bilmeden, polinomları ve hesabı anlamlandırmak (imkansız olmasa da) düpedüz zor olurdu ve hatta bir çeki bölmek gibi basit görevleri bile kişinin kafasında çözmesi çok daha zor hale getirirdi.
45'in Faktörleri Nelerdir? Faktoring Uygulamasında
Bu kavramı görselleştirmek zor olabilir, bu nedenle bu süreci çalışırken görmek için 45'in tüm faktörlerine bir göz atalım. 45'in çarpanları, birbirleriyle çarpıldığında 45'e eşit olan sayı çiftleridir. :
1 ve 45 (çünkü 1 * 45 = 45)
3 ve 15 (çünkü 3 * 15 = 45)
5 ve 9 (çünkü 5 * 9 = 45)
Yani liste formunda, 45 faktör 1, 3, 5, 9, 15 ve 45'tir .
Şanslıyız ki, çarpanlara ayırma bu görüntüdeki yalnızca ilk iki işlevi gerektiriyor (yaşasın!)
Asal çarpanlara ayırma ve 45'in asal çarpanları
Asal sayı, 1'den büyük herhangi bir tam sayıdır. sadece 1'e ve kendisine (eşit olarak) bölünür. En küçük asal sayıların listesi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... vb.'dir.
Astar vurmak çarpanlara ayırma bir hedef sayının, birbirleriyle çarpıldığında o hedef sayıya eşit olan asal sayı faktörlerini bulmak anlamına gelir. Yani hedef sayı olarak 45'i kullanıyorsak, yalnızca 45'in 45'e eşit olması için çarpılması gereken asal çarpanlarını bulmak istiyoruz.
Yukarıdaki 45'in çarpanlarından sadece bazılarının (3 ve 5) asal sayı olduğunu biliyoruz. Ama aynı zamanda 3*5'in de olduğunu biliyoruz. Olumsuz 45'e eşit. Yani 3*5 eksik bir asal çarpanlara ayırmadır.
Birini bulmanın en kolay yolu tamamlamak Herhangi bir hedef sayının asal çarpanlarına ayrılması, esas olarak 'baş aşağı' bölme yöntemini kullanmak ve yalnızca her sonuca sığabilecek en küçük asal sayıya bölmek anlamına gelir.
Örneğin:
Hedef sayısını (45), onu hesaba katabilecek en küçük asal sayıya bölün. Bu durumda 3'tür.
15 elde ediyoruz. Şimdi 15'i çarpanlarına ayırabilecek en küçük asal sayıya bölelim. Bu durumda yine 3 olur.
Sonuç olarak 5 elde ediyoruz. Şimdi 5'i çarpanlarına ayırabilecek en küçük asal sayıya bölelim. Bu durumda 5'tir.
Bu bize 1 kalıyor, yani işimiz bitti.
Asal çarpanlara ayırma, 'dışarıdaki' tüm sayıların çarpımı olacaktır. Birlikte çarpıldığında sonuç 45 olur. (Not: 1 asal sayı olmadığı için 1'i dahil etmiyoruz.)
45'in son asal çarpanlarına ayırmamız 3 * 3 * 5'tir.
Farklı türde bir Prime.
Herhangi Bir Sayının Çarpanlarını Bulma
Faktörleri çözerken, en hızlı yol faktörü bulmaktır çiftler daha önce 45'in tüm çarpanları için yaptığımız gibi. Çiftleri bularak işinizi yarıya indirmiş olursunuz, çünkü aynı anda hem en küçük hem de en büyük çarpanları bulmuş olursunuz.
Şimdi, hedef sayıyı çarpanlara ayırmanız gereken tüm faktör çiftlerini bulmanın en hızlı yolu, hedef sayının yedek kökünü bulmak (veya karekökünü alıp en yakın tam sayıya yuvarlamak) ve bu sayıyı hesap olarak kullanmaktır. Durduruluyor küçük faktörleri bulma noktası.
Neden? Çünkü daha küçük çarpanların faktör çiftlerini bularak kareden büyük tüm çarpanları zaten bulmuş olacaksınız. Ve bu çarpanları ancak karekökten büyük çarpanları bulmaya devam ederseniz tekrarlarsınız.
Bu şu anda kafa karıştırıcı geliyorsa endişelenmeyin! Aynı faktörleri tekrar bulmakla zaman kaybetmekten nasıl kaçınabileceğinizi göstermek için bir örnek üzerinde çalışacağız.
Şimdi 64'ün tüm çarpanlarını bulmak için uygulanan yöntemi görelim:
Öncelikle 64'ün karekökünü alalım.
√64 = 8
Artık biliyoruz sadece tüm faktör çiftlerimizin ilk yarısını bulmak için 1'den 8'e kadar olan tam sayılara odaklanmak.
#1: İlk çarpan çiftimiz 1 ve 64 olacak
#2: 64 bir çift sayıdır, dolayısıyla bir sonraki çarpan çiftimiz 2 ve 32 olacaktır.
#3: 64, 3'e eşit olarak bölünemez, dolayısıyla 3 bir çarpan DEĞİLDİR.
#4: 64/4 = 16, yani bir sonraki çarpan çiftimiz 4 ve 16 olacak.
#5: 64, 5'e tam olarak bölünemez, dolayısıyla 5, 64'ün çarpanı DEĞİLDİR.
#6: 6, 64'e eşit olarak girmez, dolayısıyla 6, 64'ün çarpanı DEĞİLDİR.
#7: 64'te 7 eşit gitmez, dolayısıyla 7, 64'ün çarpanı DEĞİLDİR.
#8: 8 * 8 (8'in karesi) 64'e eşittir, yani 8, 64'ün çarpanıdır.
Ve burada durabiliriz çünkü 8, 64'ün kareköküdür. Çarpanları bulmaya devam edersek, yalnızca önceki çarpan çiftlerimizden daha büyük sayıları (16, 32, 64) tekrarlardık.
64'ün son çarpanları listemiz 1, 2, 4, 8, 16, 32 ve 64'tür.
Faktörler (ördek yavruları gibi) çiftler halinde her zaman daha iyidir.
Faktör Bulma Kısayolları
Şimdi nasıl yapabileceğimize bakalım hızlıca Bir hedef sayının en küçük faktörlerini (ve dolayısıyla faktör çiftlerini) bulun. Aşağıda, 1'den 11'e kadar olan sayıların belirli bir sayının çarpanları olup olmadığını anlamak için bazı yararlı püf noktaları özetledim.
1) Bir sayıyı çarpanlara ayırmak istediğinizde, hemen iki çarpanla başlayabilirsiniz: 1 ve hedef sayı (örneğin, 45'i çarpanlara ayırıyorsanız 1 ve 45). Herhangi bir sayı (0 dışında) kendisine eşit olması için her zaman 1 ile çarpılabilir. 1 irade Her zaman bir faktör olsun.
2) Hedef sayı çift ise sonraki çarpanlarınız hedef sayının 2 buçuk katı olacaktır. Sayı tekse, otomatik olarak 2'ye eşit olarak bölünemeyeceğini bilirsiniz ve bu nedenle 2, bir faktör OLMAYACAKTIR. (Aslında hedef sayı tek ise HİÇBİR çift sayının çarpanları olmayacaktır.)
3) Bir sayının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini anlamanın hızlı bir yolu, hedef sayının rakamlarını toplamaktır. Eğer 3 rakam toplamının bir faktörü ise, o zaman 3 de hedef sayının bir faktörüdür.
Örneğin hedef sayımızın 117 olduğunu ve bunu çarpanlarına ayırmamız gerektiğini varsayalım. Hedef sayının (117) rakamlarını toplayarak 3'ün faktör olup olmadığını anlayabiliriz:
1 + 1 + 7 = 9
manuel test
3, 3 ile çarpılarak 9'a eşit olabilir, böylece 3, 117'ye eşit olarak girebilecektir.
117/3 = 39
3 ve 39 117'nin çarpanlarıdır.
4) Bir hedef sayı hedef sayı çift ise yalnızca 4 faktörüne sahip olacaktır . Eğer öyleyse, daha önceki bir faktör çiftinin sonucuna bakarak 4'ün bir faktör olup olmadığını anlayabilirsiniz. Hedef sayıyı 2'ye böldüğünüzde sonuç hala çift ise hedef sayı da 4'e bölünebilir. Aksi takdirde hedef sayının çarpanı 4 OLMAYACAKTIR.
Örneğin:
18/2 = 9. 18, 4'e bölünemez çünkü 9 tek sayıdır.
56/2 = 28. 56 4'e bölünür çünkü 28 çift sayıdır.
5) 5 bir olacak 5 veya 0 rakamıyla biten herhangi bir sayının çarpanı . Hedef başka bir sayıyla bitiyorsa 5 faktörü olmayacaktır.
6) 6 her zaman hedef sayının bir faktörü olacaktır hedef sayının HEM 2 hem de 3 çarpanları varsa . Aksi takdirde 6 faktör olmayacaktır.
7) Maalesef, 7'nin bir faktör olup olmadığını bulmanın herhangi bir kısayolu yok 7'nin katlarını hatırlamaktan başka bir sayının.
8) Eğer hedef sayının 2 ve 4'ün çarpanları YOKTUR, 8'in de çarpanları olmayacaktır . 2 ve 4'ün çarpanları varsa belki 8 çarpanı var, ancak görmek için bölmeniz gerekecek (maalesef bunun ötesinde ve 8'in katlarını hatırlamanın düzgün bir yolu yok).
9) 9'un bir faktör olup olmadığını şu şekilde anlayabilirsiniz: hedef sayının rakamlarını bir araya getirmek . Toplamları 9'un katı ise hedef sayının faktörü 9'dur.
Örneğin:
42 → 4 + 2 = 6. 6, 9'a bölünemez, dolayısıyla 9, 42'nin çarpanı DEĞİLDİR.
72 → 7 + 2 = 9. 9, 9'a bölünebilir (tabii ki!), dolayısıyla 9, 72'nin çarpanıdır.
10) Eğer bir hedef sayı 0 ile bitiyor , o zaman her zaman 10'luk bir çarpana sahip olacaktır. Değilse, 10 bir çarpan olmayacaktır.
onbir) Bir hedef sayı ise her iki rakamı da tekrar eden iki basamaklı sayı (22, 33, 66, 77…), o zaman çarpan olarak 11 olacaktır. Üç basamaklı veya daha yüksek bir sayıysa, bunun 11'e bölünebilir olup olmadığını kendiniz test etmeniz gerekir.
12+) Bu noktada, muhtemelen 12, 13 ve 14 gibi daha büyük sayılarınızı, daha küçük çarpanlarınızı bulup çarpan çiftleri oluşturarak bulmuşsunuzdur. Değilse, bunları hedef numaranıza bölerek manuel olarak test etmeniz gerekecektir.
Hızlı çarpanlara ayırma tekniklerinizi öğrenmek, tüm bu sinir bozucu parçaların yerine oturmasını sağlayacaktır.
45 Faktörü Hatırlamak İçin İpuçları
Amacınız 45'in tüm çarpanlarını hatırlamaksa, faktör çiftlerini bulmak için her zaman yukarıdaki teknikleri kullanabilirsiniz.
45'in karekökü 6 ile 7 arasında bir yerdedir (6^2 = 36 ve 7^2 = 49). Test etmeniz gereken en büyük küçük sayı olacak şekilde 6'ya yuvarlayın.
İlk çiftin otomatik olarak 1 ve 45 olacağını biliyorsunuz. Ayrıca 2, 4 ve 6'nın çarpan olmayacağını da biliyorsunuz çünkü 45 tek sayıdır.
4 + 5 = 9, yani 3 bir faktör olacaktır (15 gibi, çünkü 45/3 = 15).
Ve son olarak, 45, 5 ile biter, yani 5 bir çarpan olacaktır (9 gibi, çünkü 45/5 = 9).
Bu şunu gösteriyor her zaman yapabilirsin çözmek Listedeki sayıları tam olarak ezberlememiş olsanız bile 45'in çarpanlarını son derece hızlı bir şekilde hesaplayabilirsiniz.
Veya 45 faktörün tamamını özel olarak ezberlemek isterseniz şunu hatırlayabilirsiniz: 45'i çarpanlara ayırmak için ihtiyacınız olan tek şey en küçük üç tek sayıdır (1, 3, 5) . Şimdi bunları karşılık gelen katlarıyla eşleştirerek 45 (45, 15, 9) elde edin.
Sonuç: Faktoring Neden Önemlidir?
Faktoring, matematiksel düşüncenin daha yüksek biçimlerinin temelini sağlar; bu nedenle, nasıl çarpanlara ayrılacağını öğrenmek, hem mevcut hem de gelecekteki matematik çabalarınızda size iyi hizmet edecektir.
İster ilk kez öğreniyor olun, ister sadece faktör bilginizi yenilemek için zaman ayırıyor olun, bu süreçleri anlamak için gerekli adımları atmak (ve faktörlerinizi en verimli şekilde nasıl elde edebileceğinize dair püf noktalarını bilmek!), istediğiniz yere ulaşmanıza yardımcı olacaktır. Matematik hayatınızın içinde olun.
Mutlu Faktoring!