İkinci dereceden formülü ve ikinci dereceden denklemlerin temellerini öğrendikten sonra, parabollerle ilişkinizin bir sonraki aşamasına geçmenin zamanı geldi: onların özelliklerini öğrenmek. köşe formu .

Parabolün köşe formu ve ikinci dereceden bir denklemin standart formdan köşe formuna nasıl dönüştürüleceği hakkında daha fazla bilgi edinmek için okumaya devam edin.

özellik görseli kredisi: SBA73 /Flickr

Vertex Formu Neden Faydalıdır? Genel Bakış

köşe formu Bir denklemin denklemi, bir parabolün denklemini yazmanın alternatif bir yoludur.

Normalde $ax^2+bx+c$ şeklinde yazılmış ikinci dereceden bir denklem görürsünüz ve grafiği çizildiğinde bir parabol olur. Bu formdan, denklemi sıfıra eşitleyerek (veya ikinci dereceden formülü kullanarak) denklemin köklerini (parabolün $x$ eksenine çarptığı yer) bulmak yeterince kolaydır.

Ancak bir parabolün tepe noktasını bulmanız gerekiyorsa standart ikinci dereceden form çok daha az yardımcı olur. Bunun yerine ikinci dereceden denkleminizi köşe formuna dönüştürmek isteyeceksiniz.

Vertex Formu Nedir?

Standart ikinci dereceden form $ax^2+bx+c=y$ iken, ikinci dereceden bir denklemin köşe biçimi $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$'dır.

Her iki biçimde de, $y$, $y$ koordinatıdır, $x$, $x$ koordinatıdır ve $a$, parabolün yukarı mı ($+a$) yoksa aşağı mı baktığını söyleyen sabittir. ($-a$). (Bunu sanki parabol bir kase elma püresiymiş gibi düşünüyorum; eğer $+a$ varsa kaseye elma püresi ekleyebilirim; eğer $-a$ varsa elma püresini kaseden sallayabilirim.)

Parabolün standart formu ile köşe formu arasındaki fark, denklemin köşe formunun aynı zamanda parabolün tepe noktasını da vermesidir: $(h,k)$.

Örneğin, şu ince parabole bir göz atın: $y=3(x+4/3)^2-2$:

Grafiğe göre, parabolün tepe noktası (-1,5,-2) gibi bir şey gibi görünüyor, ancak yalnızca grafikten tepe noktasının tam olarak nerede olduğunu söylemek zor. Neyse ki $y=3(x+4/3)^2-2$ denklemine dayanarak bu parabolün tepe noktasının $(-4/3,-2)$ olduğunu biliyoruz.

Köşe noktası neden $(-4/3,-2)$ ve $(4/3,-2)$ değil (grafik dışında, bu da hem $x$- hem de $y$-koordinatlarını açıkça ortaya koyuyor) köşe negatif)?

Hatırlamak: köşe formu denkleminde $h$ çıkarılır ve $k$ eklenir . Negatif $h$ veya negatif $k$'ınız varsa, negatif $h$'ı çıkardığınızdan ve negatif $k$'ı eklediğinizden emin olmanız gerekir.

Bu durumda bu şu anlama gelir:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

ve böylece köşe $(-4/3,-2)$ olur.

Bir parabolü köşe biçiminde yazarken her zaman pozitif ve negatif işaretlerinizi iki kez kontrol etmelisiniz. , özellikle köşe pozitif $x$ ve $y$ değerlerine sahip değilse (veya sizin için orada değilse, çeyrek kafalılar için) çeyrek I ). Bu, ikinci dereceden formülü ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) çözüyorsanız ve pozitif ve pozitif değerlerinizi koruduğunuzdan emin olmanız gerekiyorsa yapacağınız kontrole benzer. $a$s, $b$s ve $c$s için doğrudan negatifler.

Aşağıda, köşeleriyle birlikte diğer birkaç parabol köşe formu denkleminin diğer örneklerini içeren bir tablo bulunmaktadır. Köşenin $x$ koordinatı negatif olduğunda, parabol köşe formu denkleminin $(x-h)^2$ kısmındaki farklılığa özellikle dikkat edin.

Standart Kuadratik Formdan Köşe Formuna Nasıl Dönüştürülür

İkinci dereceden denklemleri farklı formlar arasında dönüştürmeniz istendiğinde çoğu zaman standart formdan ($ax^2+bx+c$) köşe formuna ($a(x-h)^2+k$) geçiş yapacaksınız ).

Denkleminizi standart ikinci dereceden köşe formuna dönüştürme işlemi, kareyi tamamlama adı verilen bir dizi adımın yapılmasını içerir. (Kareyi tamamlama hakkında daha fazla bilgi için bu makaleyi mutlaka okuyun.)

Bir denklemi standart formdan köşe formuna dönüştürme örneğini inceleyelim. $y=7x^2+42x-3/14$ denklemiyle başlayacağız.

Yapmak isteyeceğiniz ilk şey, sabiti veya yanında $x$ veya $x^2$ olmayan terimi taşımaktır. Bu durumda sabitimiz $-3/14$ olur. (Bunu biliyoruz olumsuz $3/14$ çünkü standart ikinci dereceden denklem $ax^2+bx-c$ değil, $ax^2+bx+c$'dir.)

Öncelikle $-3/14$'ı alıp denklemin sol tarafına taşıyacağız:

$y+3/14=7x^2+42x$

Bir sonraki adım, sağ taraftaki 7'yi (denklemdeki $a$ değeri) şu şekilde çarpanlarına ayırmaktır:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Harika! Bu denklem daha çok $y=a(x-h)^2+k$ köşe formuna benziyor.

Bu noktada, 'Şimdi yapmam gereken tek şey 3/14$'ı tekrar denklemin sağ tarafına taşımak, değil mi?' diye düşünüyor olabilirsiniz. Ne yazık ki o kadar hızlı değil.

Denklemin parantez içindeki kısmına bakarsanız bir sorun fark edeceksiniz: $(x-h)^2$ biçiminde değil. Çok fazla $x$s var! Yani henüz işimiz bitmedi.

Şimdi yapmamız gereken işin en zor kısmı; kareyi tamamlamak.

Denklemin $x^2+6x$ kısmına daha yakından bakalım. $(x^2+6x)$'ı $(x-h)^2$'a benzer bir şeye dönüştürmek için parantezlerin içine bir sabit eklememiz gerekecek ve şunu hatırlamamız gerekecek: Bu sabiti denklemin diğer tarafına da eklemek için (denklemin dengeli kalması gerektiğinden).

Bunu ayarlamak için (ve sabiti denklemin diğer tarafına eklemeyi unutmadığımızdan emin olmak için), sabitin denklemin her iki tarafında yer alacağı bir boşluk yaratacağız:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Denklemin sol tarafında, sabitimizin gideceği alanın önüne $a$ değerimiz olan 7'yi dahil ettiğimize dikkat edin; Bunun nedeni, sabiti sadece denklemin sağ tarafına eklemiyor olmamız, aynı zamanda sabiti parantezlerin dışında ne varsa onunla çarpmamızdır. ($a$ değeriniz 1 ise bu konuda endişelenmenize gerek yok.)

Bir sonraki adım kareyi tamamlamaktır. Bu durumda tamamladığınız kare, parantez içindeki denklemdir; bir sabit ekleyerek onu kare olarak yazılabilecek bir denkleme dönüştürürsünüz.

Bu yeni sabiti hesaplamak için $x$'ın yanındaki değeri alın (bu durumda 6), bunu 2'ye bölün ve karesini alın.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Sabit 9'dur.

6'yı yarıya indirip karesini almamızın nedeni, $(x+p)(x+p)$ (ulaşmaya çalıştığımız şey) formundaki bir denklemde $px+px= olduğunu bilmemizdir. 6x$, yani $p=6/2$; $p^2$ sabitini elde etmek için, $6/2$'ı (bizim $p$) almalı ve bunun karesini almalıyız.

Şimdi denklemimizin her iki tarafındaki boş alanı 9 sabitiyle değiştirin:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Daha sonra parantez içindeki denklemi çarpanlarına ayırın. Kareyi tamamladığımız için bunu $(x+{some umber})^2$ şeklinde çarpanlara ayırabileceksiniz.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Son adım: $y$ dışındaki değeri denklemin sol tarafından tekrar sağ tarafa taşıyın:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Tebrikler! Denkleminizi başarıyla standart ikinci dereceden köşe formuna dönüştürdünüz.

Artık çoğu problem sizden denklemlerinizi standart formdan köşe formuna dönüştürmenizi istemeyecektir; aslında parabolün tepe noktasının koordinatlarını vermenizi isteyecekler.

İşaret değişikliklerine aldanmamak için, genel köşe formu denklemini az önce hesapladığımız köşe formu denkleminin hemen üzerine yazalım:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Ve sonra kolayca $h$ ve $k$'ı bulabiliriz:

$-h=3$

$sa=-3$

$+k=-{885/14}$

Bu parabolün tepe noktası koordinatlardadır $(-3,-{885/14})$.

Vay be, etrafta bir sürü sayı karıştırılıyordu! Neyse ki denklemleri diğer yöne (tepe noktasından standart forma) dönüştürmek çok daha kolaydır.

Vertex Formundan Standart Forma Dönüştürme

Denklemleri tepe noktasından normal ikinci dereceden forma dönüştürmek çok daha basit bir işlemdir: yapmanız gereken tek şey köşe formunu çarpmak.

Daha önceki örnek denklemimizi ele alalım: $y=3(x+4/3)^2-2$. Bunu standart forma dönüştürmek için denklemin sağ tarafını genişletiyoruz:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! $y=3(x+4/3)^2-2$ biçimini başarıyla $ax^2+bx+c$ biçimine dönüştürdünüz.

Parabol Tepe Noktası Formu Alıştırması: Örnek Sorular

Köşe formunun bu incelemesini tamamlamak için dört örnek problemimiz ve açıklamamız var. Açıklamaları okumadan önce sorunları kendiniz çözüp çözemeyeceğinize bakın!

#1: İkinci dereceden $x^2+ 2,6x+1,2$ denkleminin tepe noktası nedir?

#2: $7y=91x^2-112$ denklemini köşe formuna dönüştürün. Köşe nedir?

#3: $y=2(x-3/2)^2-9$ denklemi verildiğinde, bu denklemin $x$ ekseniyle kesiştiği yerin $x$-koordinatları nedir?

#4: $y=({1/9}x-6)(x+4)$ parabolünün tepe noktasını bulun.

Parabol Tepe Noktası Formu Uygulaması: Çözümler

#1: İkinci dereceden ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$ denkleminin köşe biçimi nedir?

$x$ olmayan değişkeni denklemin diğer tarafına ayırarak başlayın:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Orijinal denklemdeki $a$ ($ax^2+bx+c$'da olduğu gibi) 1'e eşit olduğundan, burada onu sağ taraftan çıkarmamıza gerek yok (ancak isterseniz yazabilirsiniz) $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Daha sonra $x$ katsayısını (2,6) 2'ye bölün ve karesini alın, ardından elde edilen sayıyı denklemin her iki tarafına ekleyin:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Parantez içindeki denklemin sağ tarafını çarpanlara ayırın:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Son olarak denklemin sol tarafındaki sabitleri birleştirip sağ tarafa taşıyın.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Cevabımız $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: $7i y=91i x^2-112$ denklemini köşe formuna dönüştürün. Köşe nedir?

Bir denklemi köşe biçimine dönüştürürken $y$'nin katsayısının 1 olmasını istersiniz, dolayısıyla yapacağımız ilk şey bu denklemin her iki tarafını da 7'ye bölmektir:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Daha sonra sabiti denklemin sol tarafına getirin:

$y+16=13x^2$

Denklemin sağ tarafındaki $x^2$ sayısının ($a$) katsayısını dışarıda bırakın

$y+16=13(x^2)$

Şimdi normalde denklemin sağ tarafındaki parantez içindeki kareyi tamamlamanız gerekir. Ancak $x^2$ zaten bir kare olduğundan, sabiti denklemin sol tarafından sağ tarafına taşımaktan başka bir şey yapmanıza gerek yoktur:

$y=13(x^2)-16$.

Şimdi tepe noktasını bulmak için:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, yani $h=0$

$+k=-16$, yani $k=-16$

Parabolün tepe noktası $(0, -16)$'dır.

#3: $i y=2(i x-3/2)^2-9$ denklemi verildiğinde, bu denklemin $i x$-ekseni?

Soru sizden denklemin $x$ kesim noktasını bulmanızı istediğinden, ilk adım $y=0$ değerini ayarlamaktır.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Şimdi buradan gitmenin birkaç yolu var. Sinsi yol, köşe formu denkleminde zaten bir karenin yazılı olduğu gerçeğini kendi lehimize kullanmaktır.

Öncelikle sabiti denklemin sol tarafına taşıyacağız:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Daha sonra denklemin her iki tarafını da 2'ye böleceğiz:

$9/2=(x-3/2)^2$

Şimdi işin gizli kısmı. Denklemin her iki tarafının karekökünü alın:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±