Bu yazıda iki küme arasındaki simetrik farkı tartışacağız. Burada ayrıca iki küme arasındaki simetrik farkın özelliklerini de tartışacağız.
Umarım bu makale iki set arasındaki simetrik farkı anlamanız için size yardımcı olacaktır.
Simetrik fark nedir?
Farklılığın bir diğer çeşidi simetrik farktır. Diyelim ki A ve B olmak üzere iki küme var. A ve B kümeleri arasındaki simetrik fark, ortak öğeler dışında her iki kümede bulunan öğeleri içeren kümedir.
İki küme arasındaki simetrik farka da denir. ayırıcı birlik . İki küme arasındaki simetrik fark, her iki kümede bulunan ancak kesişimlerinde olmayan öğeler kümesidir. İki A ve B kümesi arasındaki simetrik fark şu şekilde temsil edilir: ADB veya A ? B .
Örneklerle bunu anlayabiliriz.
Örnek 1 Bazı elemanları içeren iki küme olduğunu varsayalım.
A = {1, 2, 3, 4, 5} olarak ayarlayın
B'yi = {3, 5} olarak ayarlayın
Dolayısıyla verilen A ve B kümeleri arasındaki simetrik fark {1, 2, 4}
Veya şunu söyleyebiliriz Bir Δ B = {1, 2, 4} .
Örnek2 Bazı elemanları içeren iki küme olduğunu varsayalım.
A = {a, b, c, k, m, n} olarak ayarlayın
B'yi ayarla = {c, n}
Dolayısıyla verilen A ve B kümeleri arasındaki simetrik fark {a, b, k, m}
Veya şunu söyleyebiliriz Bir Δ B = {a, b, k, m} .
Aşağıdaki Venn diyagramında iki küme arasındaki simetrik farkı görebilirsiniz.
Yukarıdaki Venn diyagramında ten rengiyle gölgelenen kısım, verilen kümeler arasındaki simetrik farktır; ADB .
İki küme arasındaki simetrik farkın bazı özelliklerine bakalım.
Özellikler
Simetrik farkın bazı özellikleri aşağıda sıralanmıştır;
- Simetrik fark, her iki göreceli tamamlayıcının birleşimi olarak temsil edilebilir, yani,
Bir Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - İki küme arasındaki simetrik fark, iki kümenin birleşimi eksi aralarındaki kesişme olarak da ifade edilebilir -
Bir Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Simetrik fark hem değişmeli hem de ilişkiseldir -
Bir Δ B = B Δ Bir
(A Δ B) Δ C = Bir Δ (B Δ C) - Boş küme nötrdür (matematikte nötr bir öğenin, ikili bir işlem gerçekleştirmek için kümedeki herhangi bir öğeyle birleştirildiğinde öğeyi değişmeden bırakan özel bir tür öğe olduğu söylenir. Aynı zamanda şu şekilde de bilinir: Kimlik öğesi ).
Bir Δ ∅ = Bir
bir Δ bir = ∅ - A kümesi B kümesine eşitse, her iki küme arasındaki simetrik fark -
Bir Δ B = ∅ {A = B olduğunda}
'İki küme arasındaki simetrik fark' vs 'İki küme arasındaki fark'
İki set arasındaki fark
İki A ve B kümesi arasındaki fark, A'ya ait olan ancak B'ye ait olmayan tüm elemanların kümesidir ve ile gösterilir. A - B .
Örnek: A = {1, 2, 3, 4} olsun
ve B = {3, 4, 5, 6}
bu durumda A - B = {3, 4} ve B - A = {5, 6}
İki set arasındaki simetrik fark
A ve B gibi iki küme arasındaki simetrik fark, A veya B'de olan ancak her ikisinde de olmayan tüm elemanları içeren kümedir. Tarafından temsil edilir ADB veya A ? B .
Örnek: A = {1, 2, 3, 4} olsun
ve B = {3, 4, 5, 6}
o zaman A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Şimdi iki küme arasındaki simetrik farkı daha net anlamak için bazı örnekler görelim.
Soru 1 - A = {10, 15, 17, 19, 20} ve B = {15, 16, 18} kümelerine sahip olduğunuzu varsayalım. A ve B kümeleri arasındaki farkı ve ayrıca aralarındaki simetrik farkı bulun.
Çözüm - Verilen,
dizeyi tarihe dönüştürme
bir = {10, 15, 17, 19, 20}
ve B = {15, 16, 18}
Her iki set arasındaki fark -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Her iki küme arasındaki simetrik fark -
Bir Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Soru 2 - A = {2, 4, 6, 8} ve B = {2, 5, 7, 8} kümelerine sahip olduğunuzu varsayalım. B Δ A simetrik farkını bulun. Ayrıca, verilen her iki küme arasındaki simetrik farkı temsil eden Venn diyagramını çizin.
Çözüm - Verilen, A = {2, 4, 6, 8} ve B = {2, 5, 7, 8}
Bunu biliyoruz, B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Soruyu adım adım çözmeye çalışalım. O halde ilk adım A kümesi ile B kümesinin birleşimini bulmaktır.
Bu nedenle, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Daha sonra her iki kümenin kesişimini hesaplamamız gerekiyor.
(B ∩ Bir) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Şimdi formülde belirtildiği gibi A ve B kümelerinin birleşimi ve kesişimi arasındaki farkı bulmamız gerekiyor:
Yani, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Bu nedenle B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Hangi A Δ B'ye eşit olacak, yukarıda belirtildiği gibi 'Simetrik fark değişmelidir'. Şimdi her iki küme arasındaki simetrik farkı Venn şemasıyla göstereceğiz.
Venn diyagramında öncelikle A ve B kümelerini temsil eden iki daire çizeceğiz. Yukarıda hesaplandığı gibi her iki kümenin kesişimi {2, 8} olduğundan bu elemanları kesişen bölgede listeledik. Daha sonra kalan elemanları ilgili küme dairelerinde listeleriz, yani A kümesinde {4, 6} ve B kümesinde {5, 7}. Elemanları düzenledikten sonra Venn diyagramı şöyle olacaktır:
Yukarıdaki Venn diyagramına baktığımızda bir U evrensel kümesi vardır. Hem A hem de B kümesi, U evrensel kümesinin alt kümesidir. {2, 8} elemanları kesişen elemanlardır, dolayısıyla kesişen bölgede temsil edilirler. Açık turuncu renkli bölge, kesişen bölge dışındaki kümelerin birleşimidir. Bu bölge, A ve B kümeleri arasındaki simetrik farktır ve şu şekilde temsil edilecektir:
B Δ Bir = (B ∪ A) - (B ∩ Bir) = {4, 5, 6, 7}
Soru 3 - A = {5, 6, 8, 9, 10} ve B = {2, 4, 7, 10, 19} kümelerine sahip olduğunuzu varsayalım.
Verilen kümeleri kullanarak simetrik farkın değişmeli olduğunu kanıtlayın.
Çözüm - Verilen, A = {5, 6, 8, 9, 10} ve B = {2, 7, 8, 9, 10}
Kanıtlamak: Bir Δ B = B Δ Bir
LHS'yi alın,
Bir Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Yani A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Şimdi RHS'yi alın
B Δ Bir = (B ∪ Bir) - (B ∩ Bir)
(B ∪ Bir) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ Bir) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Yani B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Bu nedenle, A Δ B = B Δ A
Dolayısıyla simetrik fark değişmelidir.