Yüklem Mantığı, değişkenlerden oluşan önermeler olan yüklemlerle ilgilenir.

Yüklem Mantığı - Tanım

Yüklem, belirli bir alanda belirlenen bir veya daha fazla değişkenin ifadesidir. Değişkenlere sahip bir yüklem, değişkene bir değer atanarak veya değişkenin niceliği belirlenerek bir öneri yapılabilir.

10 / 40

• E(x, y)'nin 'x = y'yi ifade ettiğini düşünün
• X(a, b, c)'nin 'a + b + c = 0' olduğunu düşünün
• M(x, y)'nin 'x'in y ile evli olduğunu' gösterdiğini düşünün.

Niceleyici:

Yüklemlerin değişkeni niceleyiciler tarafından ölçülür. Yüklem mantığında iki tür niceleyici vardır: Varoluşsal Niceleyici ve Evrensel Niceleyici.

Varoluşsal Niceleyici:

Eğer p(x), U evreni üzerinde bir önerme ise, ∃x p(x) olarak gösterilir ve 'x değişkeninin evreninde p(x)'i doğrulayacak en az bir değer vardır' şeklinde okunur. ∃ niceleyicisine varoluşsal niceleyici denir.

Bir önermeyi varoluşsal bir niceleyiciyle yazmanın birkaç yolu vardır;

(∃x∈A)p(x) veya ∃x∈A öyle ki p (x) veya (∃x)p(x) veya p(x) bazı x ∈A için doğrudur.

Evrensel Niceleyici:

Eğer p(x), U evreni üzerinde bir önerme ise, bu durumda ∀x,p(x) olarak gösterilir ve 'Her x∈U için, p(x) doğrudur' şeklinde okunur. ∀ niceleyicisine Evrensel Niceleyici denir.

Evrensel bir niceleyiciyle bir önerme yazmanın birkaç yolu vardır.

∀x∈A,p(x) veya p(x), ∀x ∈A Veya ∀x,p(x) veya p(x) tüm x ∈A için doğrudur.

Sayısallaştırılmış Önermelerin Olumsuzluğu:

Niceliksel bir önermeyi olumsuzladığımızda, yani evrensel olarak niceliksel bir önerme olumsuzlandığında, varoluşsal olarak niceliksel bir önerme elde ederiz ve varoluşsal olarak niceliksel bir önerme olumsuzlandığında, evrensel olarak niceliksel bir önerme elde ederiz.

Niceliksel önermenin olumsuzlanmasının iki kuralı aşağıdaki gibidir. Bunlara DeMorgan Yasası da denir.

Örnek: Aşağıdaki önermelerin her birini reddedin:

1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

Güneş: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

Güneş: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

Güneş: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

Çoklu Niceleyicili Önermeler:

Birden fazla değişkeni olan önerme, birden fazla niceleyiciyle ölçülebilir. Çoklu evrensel niceleyiciler, ortaya çıkan önermenin anlamını değiştirmeden herhangi bir sırada düzenlenebilir. Ayrıca çoklu varoluşsal niceleyiciler, önermenin anlamını değiştirmeden herhangi bir sırada düzenlenebilir.

Hem evrensel hem de varoluşsal niceleyiciler içeren önerme, bu niceleyicilerin sırası, önermenin anlamı değiştirilmeden değiştirilemez; örneğin, ∃x ∀ y p(x,y) önermesi 'P olacak şekilde bazı x'ler vardır' anlamına gelir. (x, y) her y için doğrudur.'

Örnek: Aşağıdakilerden her birinin olumsuzunu yazın. Ortaya çıkan ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyin. U = R olduğunu varsayalım.

1,∀ x ∃ m(x)²

Güneş: ∀ x ∃ m(x)'in olumsuzu²2≧m). ∃ x ∀ m'nin anlamı (x²≧m) öyle bir x için var ki, x²≧m, her m için. İfade doğrudur çünkü x'ten daha büyük bir x vardır²≧m, her m için.

2. ∃ m∀ x(x)²

Güneş: ∃ m ∀ x'in olumsuzluğu (x²2≧m). ∀ m∃x'in anlamı (x²≧m) her m için, öyle bir x vardır ki x²≧m. İfade her m için doğrudur, öyle büyük bir x vardır ki x²≧m.