Diyelim ki X ve Y adında iki bileşik ifade var ve bunlar ancak ve ancak her ikisinin doğruluk tablosu sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içeriyorsa mantıksal eşdeğerlik olarak bilinecek. = veya ⇔ sembolünün yardımıyla mantıksal eşdeğerliği temsil edebiliriz. Yani X = Y veya X ⇔ Y bu ifadelerin mantıksal denkliği olacaktır.
Mantıksal eşdeğerlik tanımının yardımıyla, X ve Y bileşik ifadeleri mantıksal eşdeğerlik ise bu durumda X ⇔ Y'nin Totoloji olması gerektiğini açıklığa kavuşturduk.
Mantıksal Eşdeğerlik Yasaları
Bu yasada mantıksal eşdeğerlik yasasını açıklamak için 'VE' ve 'VEYA' sembollerini kullanacağız. Burada AND ∧ sembolü yardımıyla, OR ise ∨ sembolü yardımıyla gösterilmektedir. Aşağıda açıklanan çeşitli mantıksal eşdeğerlik yasaları vardır:
bağlantılı liste ve dizi listesi
İdempotent Yasası:
İdempotent yasasında yalnızca tek bir ifade kullanırız. Bu yasaya göre, aynı iki ifadeyi ∧(ve) ve ∨(veya) sembolüyle birleştirirsek, ortaya çıkan ifade, ifadenin kendisi olacaktır. Bileşik bir P ifadesi olduğunu varsayalım. İdempotent yasasını belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanılır:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Bu yasanın doğruluk tablosu şu şekilde açıklanmaktadır:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Bu tablo P, P ∨ P ve P ∧ P sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içerir.
Dolayısıyla P ∨ P = P ve P ∧ P = P diyebiliriz.
Değişmeli Kanunlar:
Bu iki ifade değişme yasasını göstermek için kullanılır. Bu yasaya göre iki ifadeyi ∧(ve) veya ∨(veya) sembolüyle birleştirirsek, ifadelerin konumu değişse bile ortaya çıkan ifade aynı olacaktır. Diyelim ki P ve Q olmak üzere iki ifade var. P ve Q ifadelerinin her ikisi de yanlış olduğunda bu ifadelerin önermesi yanlış olacaktır. Diğer tüm durumlarda bu doğru olacaktır. Değişme yasasını belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanılır:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Bu gösterimlere ilişkin doğruluk tablosu şu şekilde tanımlanmaktadır:
| P | Q | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Bu tablo P ∨ Q ve Q ∨ P sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içerir.
Dolayısıyla P ∨ Q olduğunu söyleyebiliriz. Q ∨ P.
P ∧ Q'yu kanıtlayabildiğimiz gibi? Q ∧ P.
Federal hukuk:
Üç ifade birleşme yasasını göstermek için kullanılır. Bu yasaya göre üç ifadeyi parantez yardımıyla ∧(ve) veya ∨(veya) sembolüyle birleştirirsek, parantezlerin sırasını değiştirsek bile ortaya çıkan ifade aynı olacaktır. Bu, bu yasanın gruplaşma veya birliktelikten bağımsız olduğu anlamına gelir. Diyelim ki üç P, Q ve R ifadesi var. P, Q ve R yanlış olduğunda bu ifadelerin önermesi yanlış olacaktır. Diğer tüm durumlarda bu doğru olacaktır. İlişkisel yasayı belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanılır:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Bu gösterimlere ilişkin doğruluk tablosu şu şekilde tanımlanmaktadır:
| P | Q | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Bu tablo P ∨ (Q ∨ R) ve (P ∨ Q) ∨ R sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içerir.
Dolayısıyla P ∨ (Q ∨ R) olduğunu söyleyebiliriz. (P ∨ Q) ∨ R.
P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Dağıtım kanunu:
Bu üç ifade dağıtım yasasını göstermek için kullanılır. Bu yasaya göre, ∨(OR) sembolüyle bir ifadeyi, ∧(AND) sembolüyle birleştirilen diğer iki ifadeyle birleştirirsek, ifadeleri ayrı ayrı birleştirsek bile ortaya çıkan ifade aynı olacaktır. ∨(OR) sembolü ve birleştirilmiş ifadelerin ∧(AND) ile birleştirilmesi. Diyelim ki üç P, Q ve R ifadesi var. Dağıtım yasasını belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanıldı:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
gimp'teki yazı tiplerinin listesi
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Bu gösterimlere ilişkin doğruluk tablosu şu şekilde tanımlanmaktadır:
| P | Q | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Bu tablo P ∨ (Q ∧ R) ve (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içerir.
Dolayısıyla P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) diyebiliriz.
P ∧ (Q ∨ R)'yi kanıtlayabildiğimizle aynı mı? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Kimlik Hukuku:
Kimlik yasasını göstermek için tek bir ifade kullanılır. Bu yasaya göre, bir ifadeyi ve bir True değerini ∨(veya) sembolüyle birleştirirsek True değerini üretecektir. Bir ifadeyi ve False değerini ∧(and) sembolüyle birleştirirsek, o zaman ifadenin kendisini üretecektir. Benzer şekilde bunu zıt sembollerle yapacağız. Bu, eğer bir ifadeyi ve bir True değerini ∧(ve) sembolüyle birleştirirsek, o zaman ifadenin kendisini oluşturacağı ve eğer bir ifadeyi ve bir False değerini ∨(veya) sembolüyle birleştirirsek, o zaman ifadeyi üreteceği anlamına gelir. Yanlış değer. Bir bileşik önerme P, bir doğru değer T ve bir yanlış değer F olduğunu varsayalım. Birim yasasını belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanılır:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Bu gösterimlere ilişkin doğruluk tablosu şu şekilde tanımlanmaktadır:
| P | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Bu tablo P ∨ T ve T sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içermektedir. Dolayısıyla P ∨ T = T diyebiliriz. Benzer şekilde bu tablo da P ∨ F ve P sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içermektedir. Dolayısıyla P ∨ F = P diyebiliriz.
P ∧ T olduğunu kanıtlayabildiğimiz gibi? P ve P ∧ F ? F
Tamamlayıcı Kanun:
Tamamlayıcı yasada Tek bir ifade kullanılır. Bu yasaya göre, bir ifadeyi tamamlayıcı ifadesi ile ∨(veya) sembolüyle birleştirirsek True değerini, bu ifadeleri ∧(and) sembolüyle birleştirirsek False değerini üretecektir. değer. Doğru bir değeri olumsuzlarsak, yanlış bir değer üretecektir; yanlış bir değeri olumsuzlarsak, o zaman gerçek değeri üretecektir.
Tamamlayıcı yasayı belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanılır:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Bu gösterimlere ilişkin doğruluk tablosu şu şekilde tanımlanmaktadır:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Bu tablo P ∨ ¬P ve T sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içermektedir. Dolayısıyla P ∨ ¬P = T diyebiliriz. Benzer şekilde bu tablo P ∧ ¬P ve T sütunlarında da aynı doğruluk değerlerini içermektedir. F. Dolayısıyla P ∧ ¬P = F diyebiliriz.
Bu tablo ¬T ve F sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içermektedir. Dolayısıyla ¬T = F diyebiliriz. Benzer şekilde bu tablo ¬F ve T sütunlarında da aynı doğruluk değerlerini içermektedir. Dolayısıyla şunu söyleyebiliriz: ¬F = T.
Çift Olumsuzluk Yasası veya İnvolüsyon Yasası
tamsayıyı dizeye nasıl dönüştürebilirim java
Çift olumsuzluk yasasını göstermek için tek bir ifade kullanılır. Bu yasaya göre, eğer olumsuzlanmış bir önermenin olumsuzunu yaparsak, sonuçta ortaya çıkan ifade, önermenin kendisi olacaktır. Diyelim ki bir P ifadesi ve bir de olumsuz ifade olan ¬P var. Çift olumsuzluk yasasını belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanılır:
¬(¬P) ? P
Bu gösterimlere ilişkin doğruluk tablosu şu şekilde tanımlanmaktadır:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Bu tablo ¬(¬P) ve P sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içermektedir. Dolayısıyla ¬(¬P) = P diyebiliriz.
Morgan Yasasından:
İki ifade De Morgan yasasını göstermek için kullanılır. Bu yasaya göre iki ifadeyi ∧(AND) sembolüyle birleştirirsek ve sonra bu birleştirilmiş ifadelerin olumsuzunu yaparsak, her iki ifadenin olumsuzunu ayrı ayrı ∨( simgesiyle birleştirsek bile ortaya çıkan ifade aynı olacaktır. VEYA). Diyelim ki P ve Q olmak üzere iki bileşik ifade var. De Morgan Yasasını belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanıldı:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Bu gösterimlere ilişkin doğruluk tablosu şu şekilde tanımlanmaktadır:
| P | Q | ¬P | ¬S | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Bu tablo ¬(P ∧ Q) ve ¬ P ∨ ¬Q sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içerir. Dolayısıyla ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q diyebiliriz.
¬(P ∨ Q)'yu ispatlayabildiğimizin aynısı mı? ¬P ∧ ¬Q
Emilim Yasası:
while döngüsü java
İki ifade soğurma yasasını göstermek için kullanılır. Bu yasaya göre, eğer bir P ifadesini ∨(OR) sembolüyle birleştirirsek, aynı P ifadesi ve ∧(AND) simgesiyle birleştirilen başka bir Q ifadesi ile birleştirirsek, ortaya çıkan ifade ilk P ifadesi olacaktır. Sembolleri değiştirirsek aynı sonuç elde edilecektir. P ve Q olmak üzere iki bileşik ifadenin olduğunu varsayalım. Soğurma Yasasını belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanılır:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Bu gösterimlere ilişkin doğruluk tablosu şu şekilde tanımlanmaktadır:
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Bu tablo P ∨ (P ∧ Q) ve P sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içerir. Dolayısıyla P ∨ (P ∧ Q) ? P.
Benzer şekilde bu tablo da P ∧ (P ∨ Q) ve P sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içermektedir. Dolayısıyla P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Mantıksal Eşdeğerlik Örnekleri
Mantıksal eşdeğerliğin çeşitli örnekleri vardır. Bunlardan bazıları şu şekilde anlatılmaktadır:
Örnek 1: Bu örnekte, aşağıdaki şekilde açıklanan bir ifade için denklik özelliğini kuracağız:
p → q ? ¬p ∨q
Çözüm:
Bunu aşağıda açıklanan doğruluk tablosu yardımıyla kanıtlayacağız:
| P | Q | ¬p | p → q | ¬p ∨q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Bu tablo p → q ve ¬p ∨ q sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içerir. Dolayısıyla p → q olduğunu söyleyebiliriz. ¬p ∨ q.
Örnek 2: Bu örnekte, aşağıdaki şekilde açıklanan bir ifade için denklik özelliğini kuracağız:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Çözüm:
| P | Q | P → S | S → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Bu tablo P ↔ Q ve (P → Q) ∧ (Q → P) sütunlarında aynı doğruluk değerlerini içerir. Dolayısıyla P ↔ Q olduğunu söyleyebiliriz. (P → Q) ∧ (Q → P).
Örnek 3: Bu örnekte, aşağıdaki ifadeyi kanıtlamak için eşdeğer özelliği kullanacağız:
p ↔q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Çözüm:
Bunu kanıtlamak için yukarıda açıklanan yasalardan bazılarını kullanacağız ve bu yasadan şunları elde edeceğiz:
p ↔q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Şimdi yukarıdaki denklemde Değişme yasasını kullanacağız ve aşağıdakileri elde edeceğiz:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
orta düğme css
Şimdi bu denklemde Dağılım yasasını kullanacağız ve aşağıdakileri elde edeceğiz:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Şimdi bu denklemde Dağıtım yasasını kullanacağız ve aşağıdakileri elde edeceğiz:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Şimdi bu denklemde tümleyen yasasını kullanacağız ve aşağıdakileri elde edeceğiz:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Şimdi kimlik yasasını kullanacağız ve aşağıdakileri elde edeceğiz:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Şimdi bu denklemde Değişme yasasını kullanacağız ve aşağıdakileri elde edeceğiz:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Son olarak denklem (1) aşağıdaki hale gelir:
p ↔q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Son olarak denklem (1)'in p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)