İlgili kısmi düzeni tamamen açıklayan kullanışlı bir araçtır. Bu nedenle buna sıralama diyagramı da denir. Bir A kümesi üzerindeki bir ilişkinin yönlendirilmiş grafiğini eşdeğer bir Hasse diyagramına dönüştürmek çok kolaydır. Bu nedenle Hasse diyagramı çizilirken aşağıdaki noktalara dikkat edilmelidir.
- Hasse diyagramındaki köşeler daire yerine noktalarla gösterilir.
- Kısmi bir sıra dönüşlü olduğundan, A'nın her köşesi kendisiyle ilişkili olmalıdır, böylece bir tepe noktasından kendisine olan kenarlar Hasse diyagramında silinir.
- Kısmi bir sıra geçişli olduğundan, aRb, bRc olduğunda aRc'ye sahip oluruz. Hasse diyagramındaki geçiş özelliğinin ima ettiği tüm kenarları ortadan kaldırın, yani a'dan c'ye kenarı silin ancak diğer iki kenarı koruyun.
- Bir 'a' köşesi 'b' köşesine bir kenarla, yani aRb ile bağlıysa, 'b' köşesi 'a' köşesinin üzerinde görünür. Bu nedenle Hasse diyagramında kenarlarda ok ihmal edilebilir.
Hasse diyagramı kısmi sıranın yönlendirilmiş grafiğinden çok daha basittir.
Örnek: A = {4, 5, 6, 7} kümesini düşünün. R, A üzerinde ≦ ilişkisi olsun. R'nin yönlendirilmiş grafiğini ve Hasse diyagramını çizin.
Çözüm: A kümesindeki ≦ ilişkisi şu şekilde verilir:
R = {{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 4}, {5, 5} , {6, 6}, {7, 7}}
R ilişkisinin yönlendirilmiş grafiği şekil 1'de gösterildiği gibidir:
Kısmi derecenin Hasse diyagramını çizmek için aşağıdaki noktaları uygulayın:
- Dönüşlü özelliğin ima ettiği tüm kenarları silin;
(4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7) - Geçişli özelliğin ima ettiği tüm kenarları silin;
(4, 7), (5, 7), (4, 6) - Köşeleri temsil eden daireleri noktalarla değiştirin.
- Okları atlayın.
Hasse diyagramı şekil 1'de gösterildiği gibidir:
Üst Sınır: B'nin kısmen sıralı bir A kümesinin alt kümesi olduğunu düşünün. Her y ∈ B için y ≦ x ise, x ∈ A öğesine B'nin üst sınırı denir.
Alt sınır: B'nin kısmen sıralı bir A kümesinin alt kümesi olduğunu düşünün. Her x ∈ B için z ≦ x ise z ∈ A öğesine B'nin alt sınırı denir.
Örnek: Şekil 2'de gösterilen A = {a, b, c, d, e, f, g} pozetini düşünün. Ayrıca B = {c, d, e} olsun. B'nin üst ve alt sınırını belirleyin.
Çözüm: B'nin üst sınırı e, f ve g'dir çünkü B'nin her elemanı '≦' e, f ve g'dir.
B'nin alt sınırları a ve b'dir çünkü a ve b, B'nin her elemanı '≦'dir.
En Az Üst Sınır (ÜSTÜN):
A, kısmen sıralı bir S kümesinin alt kümesi olsun. Eğer M, A'nın her elemanını takip ediyorsa, yani A'daki her x için elimizde x varsa, S'deki bir M elemanına A'nın üst sınırı denir.<=m< p>
A'nın bir üst sınırı A'nın diğer tüm üst sınırlarından önce geliyorsa, buna A'nın üstü denir ve Sup (A) ile gösterilir.
En Büyük Alt Sınır (INFIMUM):
S pozetindeki bir m elemanına, eğer m, A'nın her elemanından önce geliyorsa, yani A'daki her y için elimizde m varsa, S'nin bir A alt kümesinin alt sınırı olarak adlandırılır.<=y < p>
A'nın bir alt sınırı, A'nın her alt sınırını takip ediyorsa, buna A'nın infimum'u denir ve Inf (A) ile gösterilir.
Örnek: Şekil 1'de Hasse diyagramı gösterilen pozetin B = {a, b, c} en küçük üst sınırını ve en büyük alt sınırını (varsa) belirleyin:
Çözüm: En küçük üst sınır c'dir.
En büyük alt sınır k'dir.