Diyelim ki X ve Y olmak üzere iki formül var. X ↔ Y bir totoloji ise bu formüllere eşdeğerlik adı verilecektir. Eğer X ↔ Y iki formülü bir totoloji ise bunu X ⇔ Y olarak da yazabiliriz ve bu ilişkiyi X'in Y'ye eşdeğerliği şeklinde de okuyabiliriz.

Not: Formülün doğrusal denkliği yapılırken dikkat edilmesi gereken bazı noktalar vardır. Bunlar aşağıda açıklanmıştır:

• ⇔ yalnızca sembolü belirtmek için kullanılır ancak bağlayıcı değildir.
• X ↔ Y bir totoloji ise X ve Y'nin doğruluk değeri her zaman eşit olacaktır.
• Eşdeğerlik ilişkisi simetrik ve geçişli olmak üzere iki özellik içerir.

Yöntem 1: Doğruluk tablosu yöntemi:

Bu yöntemde herhangi iki ifadeli formülün doğruluk tablolarını oluşturacağız ve ardından bu ifadelerin eşdeğer olup olmadığını kontrol edeceğiz.

Örnek 1: Bu örnekte, X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y)'yi kanıtlamamız gerekiyor.

Çözüm: X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y)'nin doğruluk tablosu şu şekilde açıklanmaktadır:

Görebildiğimiz gibi X ∨ Y ve ¬(¬X ∧ ¬Y) bir totolojidir. Dolayısıyla X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Örnek 2: Bu örnekte (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)'yi kanıtlamamız gerekiyor.

Çözüm: (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)'nin doğruluk tablosu şu şekilde tanımlanır:

Görebildiğimiz gibi X → Y ve (¬X ∨ Y) bir totolojidir. Dolayısıyla (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Denklik formülü:

Aşağıda açıklanan denklik formülünü kanıtlamak için kullanılan çeşitli yasalar vardır:

İdempotent yasa: Eğer bir ifade formülü varsa, o zaman aşağıdaki özellikleri taşıyacaktır:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Federal hukuk: Üç ifade formülü varsa, aşağıdaki özellikleri taşıyacaktır:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Değişmeli kanun: İki ifade formülü varsa, aşağıdaki özellikleri taşıyacaktır:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Dağıtım kanunu: Üç ifade formülü varsa, aşağıdaki özellikleri taşıyacaktır:

css'de bir resim nasıl ortalanır

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Kimlik yasası: Eğer bir ifade formülü varsa, o zaman aşağıdaki özellikleri taşıyacaktır:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Tamamlayıcı yasa: Eğer bir ifade formülü varsa, o zaman aşağıdaki özellikleri taşıyacaktır:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Emilim Yasası: İki ifade formülü varsa, aşağıdaki özellikleri taşıyacaktır:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Morgan Yasasından: İki ifade formülü varsa, aşağıdaki özellikleri taşıyacaktır:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Yöntem 2: Değiştirme Süreci

Bu yöntemde A : X → (Y → Z) formülünü varsayacağız. Y → Z formülü formülün parçası olarak bilinebilir. Formülün bu kısmını, yani Y → Z'yi, A'daki ¬Y ∨ Z denklik formülünün yardımıyla değiştirirsek, o zaman başka bir formül elde ederiz, yani B : X → (¬Y ∨ Z). Verilen A ve B formüllerinin birbirine eşdeğer olup olmadığını doğrulamak kolay bir işlemdir. Değiştirme işlemi sayesinde A'dan B'yi alabiliriz.

Örnek 1: Bu örnekte, {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

Çözüm: Burada sol tarafı alıp sağ tarafı almaya çalışacağız.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Şimdi birleşme yasasını şu şekilde kullanacağız:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Şimdi De Morgan yasasını şu şekilde kullanacağız:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Dolayısıyla kanıtlandı

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Örnek 2: Bu örnekte, {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

Çözüm: Burada sol tarafı alıp sağ tarafı almaya çalışacağız.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Dolayısıyla kanıtlandı

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Örnek 3: Bu örnekte X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

Çözüm: Burada sol tarafı alıp sağ tarafı almaya çalışacağız.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Dolayısıyla kanıtlandı

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Örnek 4: Bu örnekte, (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

Çözüm: Burada sol tarafı alıp sağ tarafı almaya çalışacağız.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Şimdi İlişkilendirme ve Dağıtım yasalarını şu şekilde kullanacağız:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Şimdi De Morgan yasasını şu şekilde kullanacağız:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Şimdi Dağıtım yasasını şu şekilde kullanacağız:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Dolayısıyla kanıtlandı

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Örnek 5: Bu örnekte, ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z)'nin bir totoloji olduğunu göstermemiz gerekiyor.

Çözüm: Burada küçük parçalar alıp çözeceğiz.

İlk önce De Morgan yasasını kullanacağız ve aşağıdakileri elde edeceğiz:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Öyleyse,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Ayrıca

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Buradan

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Böylece

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Dolayısıyla verilen formülün bir totoloji olduğunu söyleyebiliriz.

Örnek 6: Bu örnekte (X ∧ Y) → (X ∨ Y)'nin bir totoloji olduğunu göstermemiz gerekiyor.

Çözüm: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

c rastgele sayı

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Şimdi De Morgan yasasını şu şekilde kullanacağız:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Şimdi birleşme yasasını ve değişme yasasını şu şekilde kullanacağız:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Şimdi Olumsuzluk yasasını şu şekilde kullanacağız:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Dolayısıyla verilen formülün bir totoloji olduğunu söyleyebiliriz.

Örnek 7: Bu örnekte, aşağıda açıklanan bazı ifadelerin olumsuzunu yazmamız gerekiyor:

1. Marry eğitimini tamamlayacak veya XYZ Şirketinin katılma mektubunu kabul edecek.
2. Harry yarın bisiklete binecek ya da koşacak.
3. İyi not alırsam kuzenim kıskanır.

Çözüm: Öncelikle ilk ifadeyi şu şekilde çözeceğiz:

1. Diyelim ki X: Marry eğitimini tamamlayacak.

Y: XYZ Şirketinin katılma mektubunu kabul edin.

Bu ifadeyi ifade etmek için aşağıdaki sembolik formu kullanabiliriz:

 X ∨ Y 

X ∨ Y'nin olumsuzu şu şekilde tanımlanır:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Sonuç olarak, verilen ifadenin olumsuzu şöyle olacaktır:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Diyelim ki X: Harry bir gezintiye çıkacak

Y: Harry yarın koşacak

Bu ifadeyi ifade etmek için aşağıdaki sembolik formu kullanabiliriz:

 X ∨ Y 

X ∨ Y'nin olumsuzu şu şekilde tanımlanır:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Sonuç olarak, verilen ifadenin olumsuzu şöyle olacaktır:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Diyelim ki X: Eğer iyi notlar alırsam.

Y: Kuzenim kıskanacak.

Bu ifadeyi ifade etmek için aşağıdaki sembolik formu kullanabiliriz:

 X → Y 

X → Y'nin olumsuzu şu şekilde tanımlanır:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Sonuç olarak, verilen ifadenin olumsuzu şöyle olacaktır:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Örnek 8: Bu örnekte bazı ifadelerin olumsuzluğunu De Morgan yasası yardımıyla yazmamız gerekiyor. Bu ifadeler şu şekilde açıklanmaktadır:

1. Bir pırlanta setine ve altın bir yüzüğe ihtiyacım var.
2. İyi bir iş bulursun ya da iyi bir partner bulamazsın.
3. Çok fazla iş alıyorum ve üstesinden gelemiyorum.
4. Köpeğim seyahate çıkıyor ya da evde ortalığı karıştırıyor.

Çözüm: Tüm ifadelerin De Morgan yasası yardımıyla olumsuzlanması tek tek şu şekilde anlatılmaktadır:

1. Bir pırlanta setine ihtiyacım yok ya da altın bir yüzüğe değmeyecek.
2. İyi bir iş bulamazsınız ve iyi bir ortak bulursunuz.
3. Çok fazla iş almıyorum ya da halledebilirim.
4. Köpeğim geziye çıkmıyor ve evde karışıklık yaratmıyor.

Örnek 9: Bu örnekte bazı ifadelerimiz var ve bu ifadelerin olumsuzunu yazmamız gerekiyor. Açıklamalar şu şekilde anlatılıyor:

1. Yağmur yağarsa plaja gitme planı iptal edilir.
2. Eğer çok çalışırsam sınavda iyi notlar alırım.
3. Gece yarısı bir partiye gidersem babamdan ceza alacağım.
4. Benimle konuşmak istemiyorsan numaramı engellemelisin.

Çözüm: Tüm ifadelerin olumsuzluğu tek tek şöyle anlatılmaktadır:

1. Plaja gitme planı iptal edilirse yağmur yağıyor demektir.
2. Sınavdan iyi not alırsam çok çalışırım.
3. Eğer babamdan ceza alırsam gece yarısı partisine giderim.
4. Numaramı engellemek zorunda kalırsan benimle konuşmak istemezsin.

Örnek 10: Bu örnekte (X → Y) → Z ve X → (Y → Z) mantıksal olarak eşdeğer olup olmadığını kontrol etmeliyiz. Cevabımızı doğruluk tablolarının yardımıyla ve her iki ifadeyi de basitleştirmek için mantık kurallarının yardımıyla gerekçelendirmeliyiz.

Çözüm: İlk olarak, (X → Y) → Z ve X → (Y → Z)'nin mantıksal olarak eşdeğer olup olmadığını kontrol etmek için yöntem 1'i kullanacağız; bu, aşağıda açıklanmıştır:

ikili ağaç türleri

Yöntem 1: Burada aşağıdakileri varsayacağız:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

Ve

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Yöntem 2: Şimdi ikinci yöntemi kullanacağız. Bu yöntemde doğruluk tablosunu kullanacağız.

Bu doğruluk tablosunda (X → Y) → Z ve X → (Y → Z) sütunlarının aynı değerleri içermediğini görebiliriz.