Ünlü bir matematikçi DeMorgan boole cebirinin en önemli iki teoremini icat etti. DeMorgan teoremleri, NOR ve negatif-AND kapılarının ve negatif-OR ve NAND kapılarının denkliğinin matematiksel olarak doğrulanması için kullanılır. Bu teoremler çeşitli boole cebiri ifadelerinin çözümünde önemli bir rol oynar. Aşağıdaki tabloda giriş değişkeninin her bir kombinasyonu için mantıksal işlem tanımlanmıştır.
| Giriş değişkenleri | Çıkış Durumu | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | VE | NAND | VEYA | VEYA |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
De-Morgan teoreminin kuralları, iki giriş değişkeni x ve y kullanılarak OR, AND ve NOT için Boolean ifadelerinden üretilir. Demorgan'ın birinci teoremi, iki giriş değişkenine VE işlemi yaparsak ve ardından sonuca DEĞİL işlemi yaparsak, sonucun o değişkenin tümleyeninin VEYA işlemiyle aynı olacağını söylüyor. DeMorgan'ın ikinci teoremi, iki giriş değişkeninin VEYA işlemini gerçekleştirirsek ve ardından OLUMSUZ Sonucun işlemi, sonuç o değişkenin tümleyeninin VE işlemiyle aynı olacaktır.
De-Morgan'ın Birinci Teoremi
Birinci teoreme göre AND işleminin tümleyen sonucu, o değişkenin tümleyeninin VEYA işlemine eşittir. Dolayısıyla NAND fonksiyonuna eşdeğerdir ve (A.B)' = A'+B' olduğunu kanıtlayan negatif-VEYA fonksiyonudur ve bunu aşağıdaki tabloyu kullanarak gösterebiliriz.
| Girişler | Her Dönem Çıktısı | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | AB | (A.B)' | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
De-Morgan'ın İkinci Teoremi
İkinci teoreme göre VEYA işleminin tümleyen sonucu, o değişkenin tümleyeninin VE işlemine eşittir. Dolayısıyla NOR fonksiyonunun eşdeğeridir ve (A+B)' = A'.B' olduğunu kanıtlayan negatif-AND fonksiyonudur ve bunu aşağıdaki doğruluk tablosunu kullanarak gösterebiliriz.
| Girişler | Her Dönem Çıktısı | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Bazı ifadeleri alıp DeMorgan teoremlerini uyguladığımız bazı örnekleri ele alalım.
Örnek 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Örnek 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Örnek 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
DeMorgan teoremini bu ifadeye uygulamak için aşağıdaki ifadeleri takip etmemiz gerekir:
1) Tam ifadede, öncelikle DeMorgan teoremini uygulayabileceğimiz terimleri buluruz ve her terimi tek bir değişken olarak ele alırız.
Bu yüzden,
2) Daha sonra DeMorgan'ın birinci teoremini uyguluyoruz. Bu yüzden,
3) Daha sonra, çift çubukları iptal etmek için 9 numaralı kuralı, yani (A=(A')') kullanırız.
4) Daha sonra DeMorgan'ın ikinci teoremini uyguluyoruz. Bu yüzden,
5) Çift çubuğu iptal etmek için 9 numaralı kuralı tekrar uygulayın.
Şimdi bu ifadenin herhangi bir kural veya teoremi uygulayabileceğimiz bir terimi yok. Yani bu son ifadedir.
Örnek 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
giriş dili
