Trigonometri veya matematik çalışıyorsanız veya buna hazırlanıyorsanız birim çembere aşina olmanız gerekir. Birim çember Bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantını çözmek için kullanılan önemli bir araçtır. Peki nasıl çalışıyor? Ve onu kullanmak için hangi bilgileri bilmeniz gerekiyor?

Bu yazımızda birim çemberin ne olduğunu ve neden bilmeniz gerektiğini açıklıyoruz. Ayrıca birim çemberi nasıl kullanacağınızı hatırlamanıza yardımcı olacak üç ipucu da veriyoruz.

Özellik Resmi: Gustavb /Wikimedia

Birim Çemberi: Temel Bir Giriş

Birim çember yarıçapı 1 olan bir çemberdir. Bu, dairenin merkez noktasından dairenin kenarı boyunca herhangi bir noktaya çizilen herhangi bir düz çizgi için bu çizginin uzunluğunun her zaman 1 olacağı anlamına gelir. (Bu aynı zamanda dairenin çapının 2'ye eşit olacağı anlamına da gelir, çünkü çap, yarıçapın uzunluğunun iki katına eşittir.)

Tipik, birim çemberin merkez noktası, x ekseni ile y ekseninin kesiştiği veya (0, 0) koordinatlarındadır:

Birim çemberi veya diğer adıyla trigonometri çemberini bilmek faydalıdır çünkü 0° ile 360° (veya 0 ve 2π radyan) arasındaki herhangi bir açının kosinüs, sinüs ve tanjantını kolayca hesaplamamızı sağlar.

Yukarıdaki şemada görebileceğiniz gibi, herhangi bir açıda bir yarıçap çizerek (resimde ∝ ile işaretlenmiştir) bir dik üçgen oluşturacaksınız. Bu üçgende kosinüs yatay çizgi, sinüs ise dikey çizgidir. Başka bir deyişle, kosinüs =x koordinatı ve sinüs = y-koordinatı. (Üçgenin en uzun çizgisi veya hipotenüsü yarıçaptır ve dolayısıyla 1'e eşittir.)

Bütün bunlar neden önemli? Bir üçgenin kenarlarının uzunluklarını aşağıdaki denklemi kullanarak çözebileceğinizi unutmayın: Pisagor teoremi veya $a^2+b^2=c^2$ (hangisinde A Ve B üçgenin kenarlarının uzunlukları ve C hipotenüsün uzunluğudur).

Bir açının kosinüsünün yatay çizginin uzunluğuna, sinüsün dikey çizginin uzunluğuna ve hipotenüsün 1'e eşit olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla şunu söyleyebiliriz: Birim çemberdeki herhangi bir dik üçgenin formülü aşağıdaki gibidir:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

^2=1$ olduğundan bu denklemi şu şekilde basitleştirebiliriz:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Farkında olmak bu değerler negatif olabilir oluşan açıya ve x ve y koordinatlarının hangi çeyreğe düştüğüne bağlı olarak (bunu daha sonra daha ayrıntılı olarak açıklayacağım).

Birim çemberdeki tüm ana açıların derece ve radyan cinsinden bir özeti aşağıda verilmiştir:

ridhima tiwari

Birim Çember – Derece

Birim Çember — Radyan

Peki ya üçgen oluşmadıysa? Şuna bakalım açı 0° olduğunda, x ekseni boyunca yatay bir düz çizgi oluşturduğunda ne olur:

Bu doğru üzerinde x koordinatı 1'e, y koordinatı ise 0'a eşittir. Biliyoruz ki kosinüs x koordinatına eşittir ve sinüs y koordinatına eşittir, yani şunu yazabiliriz:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Farzedelim açı 90° ve y ekseni boyunca tamamen dikey bir çizgi oluşturuyor mu?

Burada x koordinatının 0'a ve y koordinatının 1'e eşit olduğunu görebiliriz. Bu bize sinüs ve kosinüs için aşağıdaki değerleri verir:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Bu slogan eğer matematik aşığı değilseniz kesinlikle geçerlidir.

Birim Çemberi Neden Bilmelisiniz?

Yukarıda belirtildiği gibi birim çember faydalıdır çünkü herhangi bir derece veya radyanın sinüs, kosinüs veya tanjantını kolayca çözmemize olanak tanır. Matematik ödevi için belirli trigonometri değerlerini çözmeniz gerekiyorsa veya matematik çalışmaya hazırlanıyorsanız, birim çember grafiğini bilmek özellikle yararlıdır.

Peki birim çemberi bilmek size tam olarak nasıl yardımcı olabilir? Diyelim ki bir matematik sınavında size aşağıdaki problem verildi ve Olumsuz çözmek için hesap makinesi kullanmasına izin verildi:

$$sin30°$$

Nereden başlıyorsun? Birim çember grafiğine tekrar bakalım; bu kez tüm ana açılarla (hem derece hem de radyan cinsinden) ve bunlara karşılık gelen koordinatlarla:

Jim.belk /Wikimedia

Bunalmayın! Unutmayın, çözdüğünüz tek şey $sin30°$. Bu grafiğe baktığımızda şunu görebiliriz. y koordinatı 30°'de /2$'a eşittir. Y koordinatı sinüse eşit olduğundan cevabımız şu şekildedir:

$$sin30°=1/2$$

Peki ya derece yerine radyan kullanan bir problemle karşılaşırsanız? Çözüm süreci hala aynı. Örneğin şöyle bir sorunla karşılaştığınızı varsayalım:

$$cos{{3π}/4}$$

Yine yukarıdaki grafiği kullanarak ${3π}/4$ (135°'ye eşit) için x koordinatının (veya kosinüs) $-{√2}/2$ olduğunu görebiliriz. O zaman bu soruna cevabımız şöyle görünecektir:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Referans olarak kullanmak üzere yukarıdaki birim çember grafiğine sahipseniz tüm bunlar oldukça kolaydır. Ancak çoğu zaman (hepsi olmasa da) durum böyle olmayacak ve bu tür matematik sorularını yalnızca beyninizi kullanarak yanıtlamanız beklenecek.

Peki birim çemberi nasıl hatırlayabilirsin? En iyi ipuçlarımız için okumaya devam edin!

Ünite Çemberi Nasıl Hatırlanır: 3 Temel İpucu

Bu bölümde, trigonometri çemberini hatırlamanıza yönelik en önemli ipuçlarımızı veriyoruz, böylece bunu gerektiren herhangi bir matematik probleminde kolaylıkla kullanabilirsiniz.

Birim çember üzerinde post-itlerle çalışmayı tavsiye etmem ama bu bir başlangıç.

#1: Ortak Açıları ve Koordinatları Ezberleyin

Birim çemberi etkili bir şekilde kullanmak için şunları yapmanız gerekir: En yaygın açıları (derece ve radyan olarak) ve bunlara karşılık gelen x ve y koordinatlarını ezberleyin.

Yukarıdaki diyagram, x ve y eksenleri boyunca karşılık gelen koordinat noktalarına ek olarak, hem derece hem de radyan cinsinden tüm ana açıları içerdiğinden, bakılması yararlı bir birim daire grafiğidir.

İşte aynı bilgileri tablo biçiminde listeleyen bir grafik:

Şimdi, tüm bu koordinatları ve açıları ezberlemeye çalışabilirsiniz, ancak bu çok fazla hatırlanması gereken şeyler.

Neyse ki birim çemberin en önemli kısımlarını hatırlamanıza yardımcı olacak bir numara var.

Yukarıdaki koordinatlara baktığınızda net bir model fark edeceksiniz: tüm noktalar (0°, 90°, 270° ve 360°'dekiler hariç) yalnızca üç değer arasında geçiş yapın (pozitif veya negatif):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Her değer karşılık gelir hem kosinüs hem de sinüs için kısa, orta veya uzun bir çizgi:

İşte bu uzunlukların anlamı:

Kısa yatay veya dikey çizgi= /2$ Orta yatay veya dikey çizgi= ${√2}/2$ Uzun yatay veya dikey çizgi= ${√3}/2$

Örneğin, $cos{π/3}$'ı çözmeye çalışıyorsanız, bu açının (60°'ye eşit) şunu ifade ettiğini hemen bilmelisiniz: birim çember üzerinde kısa bir yatay çizgi. Öyleyse, karşılık gelen x koordinatı /2$'a eşit olmalıdır (pozitif bir değer, çünkü $π/3$ koordinat sisteminin ilk çeyreğinde bir nokta oluşturur).

Son olarak, yukarıdaki tabloda yer alan tüm açıları ezberlemek faydalı olsa da şunu unutmayın: şimdiye kadar hatırlanması gereken en önemli açılar şunlardır:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Negatiflerinize ve pozitiflerinize, yanlış bağlanırsa sizi potansiyel olarak öldürebilecek kablolar gibi davranın.

#2: Neyin Olumsuz, Neyin Olumlu Olduğunu Öğrenin

Bir trigonometri problemi için doğru değeri bulabilmeniz için pozitif ve negatif x ve y koordinatlarını ayırt edebilmek çok önemlidir. Hatırlatma olarak, İçinde Birim çember üzerindeki koordinatın pozitif mi yoksa negatif mi olacağı şunlara bağlıdır: nokta hangi çeyreğe (I, II, III veya IV) girer:

Belirli bir açının (derece veya radyan cinsinden) bulunduğu çeyreğe bağlı olarak bir koordinatın pozitif mi yoksa negatif mi olacağını gösteren bir grafik:

Örneğin, bir matematik sınavında size aşağıdaki problemin verildiğini varsayalım:

$$cos210°$$

Sorunu çözmeye çalışmadan önce, cevabın şu şekilde olacağını anlamalısınız: negatif bir sayı 210° açısı III. çeyreğe düştüğünden (burada x koordinatları Her zaman olumsuz).

Şimdi, 1. ipucunda öğrendiğimiz hileyi kullanarak, 210°'lik bir açının ne kadarlık bir açı oluşturduğunu anlayabilirsiniz. uzun bir yatay çizgi. Bu nedenle cevabımız şu şekildedir:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Tanjantın Nasıl Çözüleceğini Bilin

Son olarak, trigonometri çemberi, sinüs ve kosinüs hakkındaki tüm bu bilgilerin nasıl kullanılacağını bilmek önemlidir. Bir açının tanjantını çözün.

Trigonometride, bir θ açısının tanjantını (derece veya radyan cinsinden) bulmak için, basitçe sinüsü kosinüse böl:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Örneğin, bu soruna cevap vermeye çalıştığınızı varsayalım:

$$ an300°$$

İlk adım sinüs ve kosinüs cinsinden bir denklem oluşturmaktır:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Şimdi teğeti çözmek için sinüsü bulmamız gerekiyor. Ve 300° kosinüs. 300 derecelik açının dördüncü çeyreğe düştüğünü hızlı bir şekilde fark edebilmeniz gerekir; bu da şu anlama gelir: kosinüs veya x koordinatı pozitif, sinüs veya y koordinatı ise negatif olacaktır.

Şunu da hemen bilmelisin ki 300° açı oluşturur kısa bir yatay çizgi ve uzun bir dikey çizgi. Bu nedenle, kosinüs (yatay çizgi) /2$'a eşit olacaktır ve sinüs (dikey çizgi) $-{√3}/2$'ye eşit olacaktır (negatif bir y değeri, çünkü bu nokta IV. çeyrektedir) .

Şimdi teğeti bulmak için tek yapmanız gereken bağlayıp çözmek:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Matematik becerilerinizi mırıldanma zamanı!

Ünite Çemberi Alıştırma Soru Seti

Artık birim çemberin neye benzediğini ve nasıl kullanılacağını bildiğinize göre, öğrendiklerinizi birkaç pratik problemle test edelim.

Sorular

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Yanıtlar

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

Cevap Açıklamaları

#1: $sin45°$

Bu sorunla ilgili olarak hemen tanımlayabilmeniz gereken iki bilgi vardır:

Cevap olumlu olacak45° açısı I. çeyrekte olduğundan ve bir açının sinüsü y koordinatına eşit olduğundan

• 45° açı oluşturur orta uzunlukta dikey bir çizgi (onların için)

45° pozitif, orta uzunlukta bir çizgiyi gösterdiğinden, doğru cevap ${√2}/2$.

Bunu nasıl çözeceğinizden emin değilseniz çizginin uzunluğunun kısa mı, orta mı yoksa uzun mu olacağını belirlemenize yardımcı olacak bir diyagram çizin.

#2: $cos240°$

Yukarıdaki 1. problemde olduğu gibi, bu problemle ilgili olarak hızlı bir şekilde kavrayabilmeniz gereken iki bilgi vardır:

Cevap olumsuz olacak240° açısı III. çeyrekte olduğundan ve bir açının kosinüsü x koordinatına eşit olduğundan

• 240° açı oluşturur kısa bir yatay çizgi (kosinüs için)

240° negatif, kısa bir çizgiyi gösterdiğinden, doğru cevap $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

Yukarıdaki problemlerden farklı olarak, bu problem şunları kullanır: radyan derece yerine Her ne kadar bu, sorunu çözmeyi daha zor gösterse de gerçekte diğer iki sorunla aynı temel adımları kullanır.

Öncelikle ${5π}/3$ açısının IV. çeyrekte olduğunu bilmelisiniz, dolayısıyla x koordinatı veya kosinüs şöyle olacaktır: pozitif bir sayı. Bunu da söyleyebilmelisin${5π}/3$yaratır kısa bir yatay çizgi.

Bu size bunu belirlemeniz için yeterli bilgi verir. the cevap şu 1/2$.

#4: $ an{2π}/3$

Bu problem sinüs veya kosinüs yerine teğet ile ilgilidir, bu da bizim açımızdan biraz daha matematik gerektireceği anlamına gelir. Öncelikle şunu hatırla teğet bulmanın temel formülü:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Şimdi bize verilen dereceyi alalım: ${2π}/3$—ve bunu bu denkleme yerleştirin:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

en az en çok

Artık birim çember hakkında ezberlediklerinizi kullanarak sinüs ve kosinüsü ayrı ayrı çözebilmelisiniz. ${2π}/3$ açısı II. çeyrekte olduğundan, x koordinatı (veya kosinüs) negatif, y koordinatı (veya sinüs) pozitif olacaktır.

Daha sonra, yalnızca açıya dayanarak yatay çizginin ne olduğunu belirleyebilmelisiniz. kısa bir çizgi, ve dikey çizgi uzun bir çizgi. Bu, kosinüsün $-1/2$'a eşit olduğu ve sinüsün ${√3}/2$'a eşit olduğu anlamına gelir.

Artık bu değerleri bulduğumuza göre tek yapmamız gereken bunları başlangıç ​​denklemimize yerleştirmek ve teğeti çözmek:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an rengi {2π}/3=-√3$$

Sıradaki ne?

Yakında SAT veya ACT sınavına girecekseniz matematik bölümünde başarılı olabilmek için bazı trigonometrik bilgileri bilmeniz gerekir. SAT ve ACT'yi tetiklemek için uzman kılavuzlarımıza göz atın, böylece sınav günü için bilmeniz gerekenleri tam olarak öğrenebilirsiniz!

Birim çemberi ezberlemenin yanı sıra, sayıların ve yanıtların nasıl girileceğini öğrenmek iyi bir fikirdir. SAT ve ACT dahil her matematik sınavında kullanabileceğiniz bu iki faydalı strateji hakkında her şeyi öğrenmek için kılavuzlarımızı okuyun!