Bir dizi şehir ve her şehir arasındaki mesafe göz önüne alındığında, sorun her şehri tam olarak bir kez ziyaret eden ve başlangıç noktasına geri dönen mümkün olan en kısa turu bulmaktır.
Örneğin, sağ taraftaki şekilde gösterilen grafiği göz önünde bulundurun. Grafikteki bir TSP turu 0-13-2-0'dır. Turun maliyeti 80 olan 10+25+30+15'dir.
Aşağıdaki çözümleri tartıştık
1) Saf ve dinamik programlama
2) MST kullanarak yaklaşık çözüm
Şube ve bağlı çözüm
Ağaçtaki mevcut düğüm için Şube ve Bağlı Yöntemdeki önceki makalelerde görüldüğü gibi, bu düğümü aşağı indirirsek elde edebileceğimiz en iyi çözüm üzerinde bir sınır hesaplıyoruz. Eğer mümkün olan en iyi çözümün kendisi mevcut en iyi (şimdiye kadar en iyi hesaplanan) daha kötüyse, düğümle köklü alt ağacı görmezden geliriz.
Bir düğüm üzerindeki maliyetin iki maliyet içerdiğini unutmayın.
1) Düğüme kökten ulaşmanın maliyeti (bir düğüme ulaştığımızda bu maliyet hesaplanır)
2) Mevcut düğümden bir yaprağa bir cevaba ulaşma maliyeti (bu düğümle alt ağacıyı görmezden gelip gelmeyeceğine karar vermek için bu maliyetten bir sınır hesaplıyoruz).
- Durumunda maksimizasyon problemi Bir üst sınır, verilen düğümü takip edersek bize mümkün olan maksimum çözümü söyler. Örneğin 0/1 sırt çantası bir üst sınır bulmak için açgözlü yaklaşım kullandık .
- Durumunda minimizasyon problemi Alt sınır, verilen düğümü takip edersek bize mümkün olan minimum çözümü söyler. Örneğin İş atama sorunu Bir işçiye en az maliyet iş atayarak daha düşük bir sınır alıyoruz.
Dalda ve bağlı zorlu kısım, mümkün olan en iyi çözüme bir sınır hesaplamanın bir yolunu bulmaktır. Aşağıda seyahat eden satıcı sorunu için sınırları hesaplamak için kullanılan bir fikir bulunmaktadır.
Herhangi bir turun maliyeti aşağıdaki gibi yazılabilir.
Cost of a tour T = (1/2) * ? (Sum of cost of two edges adjacent to u and in the tour T) where u ? V For every vertex u if we consider two edges through it in T and sum their costs. The overall sum for all vertices would be twice of cost of tour T (We have considered every edge twice.) (Sum of two tour edges adjacent to u) >= (sum of minimum weight two edges adjacent to u) Cost of any tour >= 1/2) * ? (Sum of cost of two minimum weight edges adjacent to u) where u ? V
Örneğin, yukarıda gösterilen grafiği düşünün. Aşağıda, her düğüme bitişik minimum maliyet iki kenar bulunmaktadır.
Node Least cost edges Total cost 0 (0 1) (0 2) 25 1 (0 1) (1 3) 35 2 (0 2) (2 3) 45 3 (0 3) (1 3) 45 Thus a lower bound on the cost of any tour = 1/2(25 + 35 + 45 + 45) = 75 Refer this for one more example.
Şimdi alt sınırın hesaplanması hakkında bir fikrimiz var. Durum uzay arama ağacının nasıl uygulanacağını görelim. Tüm olası düğümleri numaralandırmaya başlıyoruz (tercihen sözlükbilimsel sırayla)
1. Kök düğümü: Genellik kaybı olmadan, alt sınırın yukarıda hesaplandığı Vertex '0' da başladığımızı varsayıyoruz.
Seviye 2 ile uğraşmak: Bir sonraki seviye, gidebileceğimiz tüm olası köşeleri numaralandırır (herhangi bir yolda bir tepe noktasında sadece bir kez meydana gelmesi gerektiğini unutmayın) (grafiğin tamamlandığını unutmayın). Vertex 1 için hesapladığımızı düşünün, çünkü 0'dan 1'e taşındığımızda turumuz artık 0-1 kenarını içeriyordu. Bu, kökün alt sınırında gerekli değişiklikleri yapmamızı sağlar.
Lower Bound for vertex 1 = Old lower bound - ((minimum edge cost of 0 + minimum edge cost of 1) / 2) + (edge cost 0-1)
Nasıl çalışır? Kenar 0-1'i dahil etmek için 0-1'in kenar maliyetini ekliyoruz ve alt sınırın mümkün olduğunca sıkı kalacak şekilde bir kenar ağırlığı çıkarıyoruz, bu da 0 ve 1'in minimum kenarlarının toplamı olacak.
Diğer seviyelerle uğraşmak: Bir sonraki seviyeye geçtikçe tekrar tüm olası köşeleri numaralandırırız. Yukarıdaki durum için 1'den sonra daha ileri gidiyor 2 3 4 ... n için kontrol ediyoruz.
1'den 1'e taşındığımız için 2 için alt sınır düşünün 1-2'yi tura ekliyoruz ve bu düğüm için yeni alt sınırını değiştiriyoruz.
Lower bound(2) = Old lower bound - ((second minimum edge cost of 1 + minimum edge cost of 2)/2) + edge cost 1-2)
Not: Formüldeki tek değişiklik, bu sefer 1 için ikinci minimum kenar maliyeti eklediğimizdir, çünkü minimum kenar maliyeti zaten önceki seviyede çıkarılmıştır.
C++
// C++ program to solve Traveling Salesman Problem // using Branch and Bound. #include
// Java program to solve Traveling Salesman Problem // using Branch and Bound. import java.util.*; class GFG { static int N = 4; // final_path[] stores the final solution ie the // path of the salesman. static int final_path[] = new int[N + 1]; // visited[] keeps track of the already visited nodes // in a particular path static boolean visited[] = new boolean[N]; // Stores the final minimum weight of shortest tour. static int final_res = Integer.MAX_VALUE; // Function to copy temporary solution to // the final solution static void copyToFinal(int curr_path[]) { for (int i = 0; i < N; i++) final_path[i] = curr_path[i]; final_path[N] = curr_path[0]; } // Function to find the minimum edge cost // having an end at the vertex i static int firstMin(int adj[][] int i) { int min = Integer.MAX_VALUE; for (int k = 0; k < N; k++) if (adj[i][k] < min && i != k) min = adj[i][k]; return min; } // function to find the second minimum edge cost // having an end at the vertex i static int secondMin(int adj[][] int i) { int first = Integer.MAX_VALUE second = Integer.MAX_VALUE; for (int j=0; j<N; j++) { if (i == j) continue; if (adj[i][j] <= first) { second = first; first = adj[i][j]; } else if (adj[i][j] <= second && adj[i][j] != first) second = adj[i][j]; } return second; } // function that takes as arguments: // curr_bound -> lower bound of the root node // curr_weight-> stores the weight of the path so far // level-> current level while moving in the search // space tree // curr_path[] -> where the solution is being stored which // would later be copied to final_path[] static void TSPRec(int adj[][] int curr_bound int curr_weight int level int curr_path[]) { // base case is when we have reached level N which // means we have covered all the nodes once if (level == N) { // check if there is an edge from last vertex in // path back to the first vertex if (adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]] != 0) { // curr_res has the total weight of the // solution we got int curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level-1]][curr_path[0]]; // Update final result and final path if // current result is better. if (curr_res < final_res) { copyToFinal(curr_path); final_res = curr_res; } } return; } // for any other level iterate for all vertices to // build the search space tree recursively for (int i = 0; i < N; i++) { // Consider next vertex if it is not same (diagonal // entry in adjacency matrix and not visited // already) if (adj[curr_path[level-1]][i] != 0 && visited[i] == false) { int temp = curr_bound; curr_weight += adj[curr_path[level - 1]][i]; // different computation of curr_bound for // level 2 from the other levels if (level==1) curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i))/2); else curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i))/2); // curr_bound + curr_weight is the actual lower bound // for the node that we have arrived on // If current lower bound < final_res we need to explore // the node further if (curr_bound + curr_weight < final_res) { curr_path[level] = i; visited[i] = true; // call TSPRec for the next level TSPRec(adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path); } // Else we have to prune the node by resetting // all changes to curr_weight and curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level-1]][i]; curr_bound = temp; // Also reset the visited array Arrays.fill(visitedfalse); for (int j = 0; j <= level - 1; j++) visited[curr_path[j]] = true; } } } // This function sets up final_path[] static void TSP(int adj[][]) { int curr_path[] = new int[N + 1]; // Calculate initial lower bound for the root node // using the formula 1/2 * (sum of first min + // second min) for all edges. // Also initialize the curr_path and visited array int curr_bound = 0; Arrays.fill(curr_path -1); Arrays.fill(visited false); // Compute initial bound for (int i = 0; i < N; i++) curr_bound += (firstMin(adj i) + secondMin(adj i)); // Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = (curr_bound==1)? curr_bound/2 + 1 : curr_bound/2; // We start at vertex 1 so the first vertex // in curr_path[] is 0 visited[0] = true; curr_path[0] = 0; // Call to TSPRec for curr_weight equal to // 0 and level 1 TSPRec(adj curr_bound 0 1 curr_path); } // Driver code public static void main(String[] args) { //Adjacency matrix for the given graph int adj[][] = {{0 10 15 20} {10 0 35 25} {15 35 0 30} {20 25 30 0} }; TSP(adj); System.out.printf('Minimum cost : %dn' final_res); System.out.printf('Path Taken : '); for (int i = 0; i <= N; i++) { System.out.printf('%d ' final_path[i]); } } } /* This code contributed by PrinciRaj1992 */
# Python3 program to solve # Traveling Salesman Problem using # Branch and Bound. import math maxsize = float('inf') # Function to copy temporary solution # to the final solution def copyToFinal(curr_path): final_path[:N + 1] = curr_path[:] final_path[N] = curr_path[0] # Function to find the minimum edge cost # having an end at the vertex i def firstMin(adj i): min = maxsize for k in range(N): if adj[i][k] < min and i != k: min = adj[i][k] return min # function to find the second minimum edge # cost having an end at the vertex i def secondMin(adj i): first second = maxsize maxsize for j in range(N): if i == j: continue if adj[i][j] <= first: second = first first = adj[i][j] elif(adj[i][j] <= second and adj[i][j] != first): second = adj[i][j] return second # function that takes as arguments: # curr_bound -> lower bound of the root node # curr_weight-> stores the weight of the path so far # level-> current level while moving # in the search space tree # curr_path[] -> where the solution is being stored # which would later be copied to final_path[] def TSPRec(adj curr_bound curr_weight level curr_path visited): global final_res # base case is when we have reached level N # which means we have covered all the nodes once if level == N: # check if there is an edge from # last vertex in path back to the first vertex if adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]] != 0: # curr_res has the total weight # of the solution we got curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level - 1]] [curr_path[0]] if curr_res < final_res: copyToFinal(curr_path) final_res = curr_res return # for any other level iterate for all vertices # to build the search space tree recursively for i in range(N): # Consider next vertex if it is not same # (diagonal entry in adjacency matrix and # not visited already) if (adj[curr_path[level-1]][i] != 0 and visited[i] == False): temp = curr_bound curr_weight += adj[curr_path[level - 1]][i] # different computation of curr_bound # for level 2 from the other levels if level == 1: curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2) else: curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2) # curr_bound + curr_weight is the actual lower bound # for the node that we have arrived on. # If current lower bound < final_res # we need to explore the node further if curr_bound + curr_weight < final_res: curr_path[level] = i visited[i] = True # call TSPRec for the next level TSPRec(adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path visited) # Else we have to prune the node by resetting # all changes to curr_weight and curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level - 1]][i] curr_bound = temp # Also reset the visited array visited = [False] * len(visited) for j in range(level): if curr_path[j] != -1: visited[curr_path[j]] = True # This function sets up final_path def TSP(adj): # Calculate initial lower bound for the root node # using the formula 1/2 * (sum of first min + # second min) for all edges. Also initialize the # curr_path and visited array curr_bound = 0 curr_path = [-1] * (N + 1) visited = [False] * N # Compute initial bound for i in range(N): curr_bound += (firstMin(adj i) + secondMin(adj i)) # Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = math.ceil(curr_bound / 2) # We start at vertex 1 so the first vertex # in curr_path[] is 0 visited[0] = True curr_path[0] = 0 # Call to TSPRec for curr_weight # equal to 0 and level 1 TSPRec(adj curr_bound 0 1 curr_path visited) # Driver code # Adjacency matrix for the given graph adj = [[0 10 15 20] [10 0 35 25] [15 35 0 30] [20 25 30 0]] N = 4 # final_path[] stores the final solution # i.e. the // path of the salesman. final_path = [None] * (N + 1) # visited[] keeps track of the already # visited nodes in a particular path visited = [False] * N # Stores the final minimum weight # of shortest tour. final_res = maxsize TSP(adj) print('Minimum cost :' final_res) print('Path Taken : ' end = ' ') for i in range(N + 1): print(final_path[i] end = ' ') # This code is contributed by ng24_7
// C# program to solve Traveling Salesman Problem // using Branch and Bound. using System; public class GFG { static int N = 4; // final_path[] stores the final solution ie the // path of the salesman. static int[] final_path = new int[N + 1]; // visited[] keeps track of the already visited nodes // in a particular path static bool[] visited = new bool[N]; // Stores the final minimum weight of shortest tour. static int final_res = Int32.MaxValue; // Function to copy temporary solution to // the final solution static void copyToFinal(int[] curr_path) { for (int i = 0; i < N; i++) final_path[i] = curr_path[i]; final_path[N] = curr_path[0]; } // Function to find the minimum edge cost // having an end at the vertex i static int firstMin(int[ ] adj int i) { int min = Int32.MaxValue; for (int k = 0; k < N; k++) if (adj[i k] < min && i != k) min = adj[i k]; return min; } // function to find the second minimum edge cost // having an end at the vertex i static int secondMin(int[ ] adj int i) { int first = Int32.MaxValue second = Int32.MaxValue; for (int j = 0; j < N; j++) { if (i == j) continue; if (adj[i j] <= first) { second = first; first = adj[i j]; } else if (adj[i j] <= second && adj[i j] != first) second = adj[i j]; } return second; } // function that takes as arguments: // curr_bound -> lower bound of the root node // curr_weight-> stores the weight of the path so far // level-> current level while moving in the search // space tree // curr_path[] -> where the solution is being stored // which // would later be copied to final_path[] static void TSPRec(int[ ] adj int curr_bound int curr_weight int level int[] curr_path) { // base case is when we have reached level N which // means we have covered all the nodes once if (level == N) { // check if there is an edge from last vertex in // path back to the first vertex if (adj[curr_path[level - 1] curr_path[0]] != 0) { // curr_res has the total weight of the // solution we got int curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level - 1] curr_path[0]]; // Update final result and final path if // current result is better. if (curr_res < final_res) { copyToFinal(curr_path); final_res = curr_res; } } return; } // for any other level iterate for all vertices to // build the search space tree recursively for (int i = 0; i < N; i++) { // Consider next vertex if it is not same // (diagonal entry in adjacency matrix and not // visited already) if (adj[curr_path[level - 1] i] != 0 && visited[i] == false) { int temp = curr_bound; curr_weight += adj[curr_path[level - 1] i]; // different computation of curr_bound for // level 2 from the other levels if (level == 1) curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2); else curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2); // curr_bound + curr_weight is the actual // lower bound for the node that we have // arrived on If current lower bound < // final_res we need to explore the node // further if (curr_bound + curr_weight < final_res) { curr_path[level] = i; visited[i] = true; // call TSPRec for the next level TSPRec(adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path); } // Else we have to prune the node by // resetting all changes to curr_weight and // curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level - 1] i]; curr_bound = temp; // Also reset the visited array Array.Fill(visited false); for (int j = 0; j <= level - 1; j++) visited[curr_path[j]] = true; } } } // This function sets up final_path[] static void TSP(int[ ] adj) { int[] curr_path = new int[N + 1]; // Calculate initial lower bound for the root node // using the formula 1/2 * (sum of first min + // second min) for all edges. // Also initialize the curr_path and visited array int curr_bound = 0; Array.Fill(curr_path -1); Array.Fill(visited false); // Compute initial bound for (int i = 0; i < N; i++) curr_bound += (firstMin(adj i) + secondMin(adj i)); // Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = (curr_bound == 1) ? curr_bound / 2 + 1 : curr_bound / 2; // We start at vertex 1 so the first vertex // in curr_path[] is 0 visited[0] = true; curr_path[0] = 0; // Call to TSPRec for curr_weight equal to // 0 and level 1 TSPRec(adj curr_bound 0 1 curr_path); } // Driver code static public void Main() { // Adjacency matrix for the given graph int[ ] adj = { { 0 10 15 20 } { 10 0 35 25 } { 15 35 0 30 } { 20 25 30 0 } }; TSP(adj); Console.WriteLine('Minimum cost : ' + final_res); Console.Write('Path Taken : '); for (int i = 0; i <= N; i++) { Console.Write(final_path[i] + ' '); } } } // This code is contributed by Rohit Pradhan
const N = 4; // final_path[] stores the final solution ie the // path of the salesman. let final_path = Array (N + 1).fill (-1); // visited[] keeps track of the already visited nodes // in a particular path let visited = Array (N).fill (false); // Stores the final minimum weight of shortest tour. let final_res = Number.MAX_SAFE_INTEGER; // Function to copy temporary solution to // the final solution function copyToFinal (curr_path){ for (let i = 0; i < N; i++){ final_path[i] = curr_path[i]; } final_path[N] = curr_path[0]; } // Function to find the minimum edge cost // having an end at the vertex i function firstMin (adj i){ let min = Number.MAX_SAFE_INTEGER; for (let k = 0; k < N; k++){ if (adj[i][k] < min && i !== k){ min = adj[i][k]; } } return min; } // function to find the second minimum edge cost // having an end at the vertex i function secondMin (adj i){ let first = Number.MAX_SAFE_INTEGER; let second = Number.MAX_SAFE_INTEGER; for (let j = 0; j < N; j++){ if (i == j){ continue; } if (adj[i][j] <= first){ second = first; first = adj[i][j]; } else if (adj[i][j] <= second && adj[i][j] !== first){ second = adj[i][j]; } } return second; } // function that takes as arguments: // curr_bound -> lower bound of the root node // curr_weight-> stores the weight of the path so far // level-> current level while moving in the search // space tree // curr_path[] -> where the solution is being stored which // would later be copied to final_path[] function TSPRec (adj curr_bound curr_weight level curr_path) { // base case is when we have reached level N which // means we have covered all the nodes once if (level == N) { // check if there is an edge from last vertex in // path back to the first vertex if (adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]] !== 0) { // curr_res has the total weight of the // solution we got let curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]]; // Update final result and final path if // current result is better. if (curr_res < final_res) { copyToFinal (curr_path); final_res = curr_res; } } return; } // for any other level iterate for all vertices to // build the search space tree recursively for (let i = 0; i < N; i++){ // Consider next vertex if it is not same (diagonal // entry in adjacency matrix and not visited // already) if (adj[curr_path[level - 1]][i] !== 0 && !visited[i]){ let temp = curr_bound; curr_weight += adj[curr_path[level - 1]][i]; // different computation of curr_bound for // level 2 from the other levels if (level == 1){ curr_bound -= (firstMin (adj curr_path[level - 1]) + firstMin (adj i)) / 2; } else { curr_bound -= (secondMin (adj curr_path[level - 1]) + firstMin (adj i)) / 2; } // curr_bound + curr_weight is the actual lower bound // for the node that we have arrived on // If current lower bound < final_res we need to explore // the node further if (curr_bound + curr_weight < final_res){ curr_path[level] = i; visited[i] = true; // call TSPRec for the next level TSPRec (adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path); } // Else we have to prune the node by resetting // all changes to curr_weight and curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level - 1]][i]; curr_bound = temp; // Also reset the visited array visited.fill (false) for (var j = 0; j <= level - 1; j++) visited[curr_path[j]] = true; } } } // This function sets up final_path[] function TSP (adj) { let curr_path = Array (N + 1).fill (-1); // Calculate initial lower bound for the root node // using the formula 1/2 * (sum of first min + // second min) for all edges. // Also initialize the curr_path and visited array let curr_bound = 0; visited.fill (false); // compute initial bound for (let i = 0; i < N; i++){ curr_bound += firstMin (adj i) + secondMin (adj i); } // Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = curr_bound == 1 ? (curr_bound / 2) + 1 : (curr_bound / 2); // We start at vertex 1 so the first vertex // in curr_path[] is 0 visited[0] = true; curr_path[0] = 0; // Call to TSPRec for curr_weight equal to // 0 and level 1 TSPRec (adj curr_bound 0 1 curr_path); } //Adjacency matrix for the given graph let adj =[[0 10 15 20] [10 0 35 25] [15 35 0 30] [20 25 30 0]]; TSP (adj); console.log (`Minimum cost:${final_res}`); console.log (`Path Taken:${final_path.join (' ')}`); // This code is contributed by anskalyan3.
Çıktı:
Minimum cost : 80 Path Taken : 0 1 3 2 0
Yuvarlama bu kod satırında yapılıyor:
if (level==1) curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level-1]) + firstMin(adj i))/2); else curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level-1]) + firstMin(adj i))/2);
Şube ve bağlı TSP algoritmasında, her bir tepe noktası için minimum kenar maliyetlerini toplayarak ve daha sonra ikiye bölünerek optimal çözümün toplam maliyeti üzerinde daha düşük bir sınır hesaplıyoruz. Ancak bu alt sınır bir tamsayı olmayabilir. Bir tamsayı daha düşük sınır almak için yuvarlama kullanabiliriz.
Yukarıdaki kodda Curr_Bound değişkeni, optimal çözümün toplam maliyeti üzerindeki akım alt sınırını tutar. Seviye düzeyinde yeni bir tepe noktası ziyaret ettiğimizde, yeni tepe noktası ve en yakın iki komşusu için minimum kenar maliyetlerinin toplamını alarak yeni bir alt sınır new_bound'u hesaplıyoruz. Daha sonra New_Bound'u en yakın tam sayısına yuvarlayarak Curr_Bound değişkenini güncelliyoruz.
Seviye 1 ise, en yakın tamsaya yuvarlanırız. Bunun nedeni, şimdiye kadar sadece bir tepe noktasını ziyaret ettik ve optimal çözümün toplam maliyeti tahminimizde muhafazakar olmak istiyoruz. Seviye 1'den büyükse, daha önce bazı köşeleri ziyaret ettiğimiz ve bu nedenle optimal çözümün toplam maliyeti hakkında daha doğru bir tahmin yapabileceğimiz gerçeğini dikkate alan daha agresif bir yuvarlama stratejisi kullanıyoruz.
Zaman karmaşıklığı: Dal ve sınırın en kötü karmaşıklığı, kaba kuvvetinkiyle aynı şekilde aynı kalır, çünkü en kötü durumda asla bir düğümü budama şansı bulamayabiliriz. Oysa pratikte TSP'nin farklı örneğine bağlı olarak çok iyi performans gösterir. Karmaşıklık ayrıca, kaç düğüm budama yapacağına karar verenler olduğu için sınırlayıcı fonksiyonun seçimine de bağlıdır.
Referanslar:
http://lcm.csa.iisc.ernet.in/dsa/node187.html