L, meet ve join adı verilen ve ∧ ve ∨ ile gösterilen iki ikili işlem altında kapalı, boş olmayan bir küme olsun. Bu durumda a, b, c'nin L'nin elemanları olduğu aşağıdaki aksiyomlar geçerliyse L'ye kafes denir:
1) Değişme Yasası: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a
2) Dernek Hukuku: -
(a) (a ∧ b)∧ c = bir ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
3) Emilim Yasası: -
(a) bir ∧ ( bir ∨ b) = bir (b) bir ∨ ( bir ∧ b) = bir
İkilik:
Bir kafesteki herhangi bir ifadenin (L,∧ ,∨ ) ikilisi, ∧ ile ∨'ın yer değiştirmesiyle elde edilen bir ifade olarak tanımlanır.
Örneğin , a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a'nın ikilisi a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a'dır
Sınırlı Kafesler:
Bir L kafesinin en büyük elemanı 1 ve en küçük elemanı 0 ise sınırlı kafes olarak adlandırılır.
Örnek:
- Kesişme ve birleşme işlemleri altında S kümesinin P(S) güç kümesi sınırlı bir kafestir, çünkü ∅ P(S)'nin en küçük elemanıdır ve S kümesi de P(S)'nin en büyük elemanıdır.
- +ve tamsayı I kümesi+≦ olağan düzeni altında sınırlı bir kafes değildir çünkü en küçük elemanı 1'dir ancak en büyük elemanı mevcut değildir.
Sınırlı Kafeslerin Özellikleri:
Eğer L sınırlı bir kafes ise, o zaman herhangi bir a ∈ L elemanı için aşağıdaki özdeşliklere sahibiz:
- bir ∨ 1 = 1
- a ∧1= a
- a ∨0=a
- a ∧0=0
Teorem: Her sonlu kafesin L = {a olduğunu kanıtlayın1,A2,A3....AN} Sınırlı.
Kanıt: Sonlu kafesi verdik:
kabarcık sıralama java
L = {bir1,A2,A3....AN}
Dolayısıyla L Kafeslerinin en büyük elemanı a'dır.1∨ bir2∨ bir3∨....∨aN.
Ayrıca L kafesinin en küçük elemanı a'dır.1∧ bir2∧a3∧....∧aN.
Çünkü her sonlu kafes için en büyük ve en küçük elemanlar mevcuttur. Dolayısıyla L sınırlıdır.
Alt Kafesler:
Boş olmayan bir L alt kümesini düşünün1bir kafes L. Sonra L1L ise L'nin alt kafesi denir1kendisi bir kafestir, yani L'nin işlemi yani a ∨ b ∈ L1ve a ∧ b ∈ L1ne zaman bir ∈ L1ve b ∈ L1.
Örnek: Tüm +ve tamsayılarının kafesini düşünün I+bölünebilme işlemi altındadır. Kafes DNn > 1'in tüm bölenlerinden biri I'in bir alt kafesidir+.
D'nin tüm alt kafeslerini belirleyin30en az dört element içeren D30={1,2,3,5,6,10,15,30}.
Çözüm: D'nin alt kafesleri30en az dört element içerenler şunlardır:
1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}
İzomorfik Kafesler:
İki kafes L1ve ben2L'den bir eşleşme varsa izomorfik kafesler olarak adlandırılır1L'ye2yani, f: L1⟶ L2, öyle ki f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) ve f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)
Örnek: Şekilde gösterilen kafeslerin izomorfik olup olmadığını belirleyin.
Çözüm: Şekilde gösterilen kafesler izomorfiktir. f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} eşlemesini düşünün. Örneğin f (b ∧ c) = f (a) = 1. Ayrıca, f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1 olsun
Dağıtıcı Kafes:
Bir L kafesine, L'nin a, b ve c elemanlarından herhangi biri için aşağıdaki dağıtım özelliklerini sağlıyorsa, dağıtım kafesi denir:
- bir ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
- bir ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
L kafesi yukarıdaki özellikleri karşılamıyorsa, buna dağıtıcı olmayan kafes denir.
Örnek:
- Kesişme ve birleşim işlemi altında S kümesinin P(S) kuvvet kümesi bir dağılım fonksiyonudur. O zamandan beri,
bir ∩ (b ∪ c) = (bir ∩ b) ∪ (bir ∩ c)
ve ayrıca P(S)'nin herhangi bir a, b ve c kümesi için a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) . - Şekil II'de gösterilen kafes bir dağıtıcıdır. Çünkü 1, 2, 3 ve 4'ten alınan tüm sıralı üçlüler için dağılım özelliklerini karşılamaktadır.
Tamamlayıcılar ve tamamlanmış kafesler:
L, alt sınırı o ve üst sınırı I olan sınırlı bir kafes olsun. L ise a bir eleman olsun. a ∨ x = I ve a ∧ x = 0 ise L'deki bir x elemanına a'nın tamamlayıcısı denir.
L sınırlıysa ve L'deki her elemanın bir tümleyeni varsa, L kafesinin tümleyen olduğu söylenir.
Örnek: Şekildeki a ve c'nin tamamlayıcısını belirleyin:
Çözüm: a'nın tamamlayıcısı d'dir. a ∨ d = 1 ve a ∧ d = 0 olduğundan
c'nin tamamlayıcısı mevcut değildir. Çünkü c ∨ c'=1 ve c ∧ c'= 0 olacak şekilde bir c elemanı yoktur.
Modüler Kafes:
a ≦ c olduğunda a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c ise, bir kafese (L, ∧,∨) modüler kafes denir.
Kafeslerin Direkt Çarpımı:
(L) olsun1∨1∧1)ve ben2∨2∧2) iki kafes olsun. O halde (L, ∧,∨) kafeslerin doğrudan çarpımıdır, burada L = L1x L2burada L üzerindeki ∨(join) ve ∧(meet) ikili işlemi herhangi bir (a) için öyledir1,B1)ve (bir2,B2) L'de.
(A1,B1)∨( bir2,B2)=(bir1∨1A2,B1∨2B2)
ve (bir1,B1) ∧ ( bir2,B2)=(bir1∧1A2,B1∧2B2).
Örnek: Şekil 2'de gösterildiği gibi bir kafesi (L, ≦) düşünün. burada L = {1, 2}. Kafesleri belirleyin (L2, ≦), burada L2=U x U.
Çözüm: Kafes (L2, ≦) şekil'de gösterilmektedir: