Bir çıkarım ifadesi 'if....then' biçiminde temsil edilebilir. ⇒ sembolü anlamı göstermek için kullanılır. P ve Q olmak üzere iki ifade olduğunu varsayalım. Bu durumda, 'eğer P ise Q' ifadesi aynı zamanda P ⇒ Q veya P → Q olarak da yazılabilir ve 'P, Q'yu ima eder' şeklinde okunacaktır. Bu anlamda, P ifadesi aynı zamanda öncül ve öncül olarak da bilinen bir hipotezdir ve Q ifadesi de sonuç olarak bilinen sonuçtur.
Çıkarım aynı zamanda mantıksal argümanda da önemli bir rol oynar. İfadelerin anlamının doğru olduğu biliniyorsa, öncül karşılandığında sonucun da doğru olması gerekir. Bu nedenle ima, koşullu ifade olarak da bilinir.
Bazı çıkarım örnekleri şu şekilde açıklanmaktadır:
başka java
- 'GOA'da hava güneşli olursa sahile gideriz'.
- ‘Kulüpte indirim sistemi varsa o kulübe gideriz’.
- 'Plaja giderken hava güneşliyse bronzlaşacağız'.
Mantıksal çıkarım, aşağıda açıklanan çeşitli şekillerde ifade edilebilir:
- Eğer p ise q
- Eğer p, q
- q ne zaman p
- Q yalnızca P ise
- q ~p olmadığı sürece
- q ne zaman p
- p, q için yeterli bir koşuldur
- q takip et p
- p, q'yu ima eder
- p için gerekli koşul q'dur
- q eğer p
- q p için gereklidir
- p, q için gerekli bir koşuldur
Şimdi P öncülü ve Q sonucunun yardımıyla yukarıda anlatılan tüm çıkarımların örneklerini açıklayacağız. Bunun için P = Hava güneşli ve Q = Sahile gideceğim varsayımını yapacağız.
P⇒ Q
- EĞER hava güneşliyse o zaman sahile gideceğim
- Hava güneşliyse sahile gideceğim
- Hava güneşliyken sahile gideceğim
- SADECE hava güneşliyse plaja gideceğim
- Hava güneşli olmadığı sürece sahile gideceğim
- Güneşli olduğunda plaja gideceğim
- Hava güneşli plaja gideceğim için yeterli bir durum
- Sahile gideceğim TAKİP ET hava güneşli
- Hava güneşli, sahile gideceğimi ima ediyor
- Havanın güneşli olması için gerekli şart sahile gidecek olmamdır
- Hava güneşliyse sahile gideceğim
- Sahile gideceğim hava güneşli olduğu için GEREKLİ
- Hava güneşli sahile gideceğim için GEREKLİ BİR ŞART
'Eğer p ise q' şeklinde bir koşullu ifade olduğunda, bu durumda P ⇒ Q önermesi, Öncül p doğruyken ve Sonuç q yanlış olduğunda yanlış olacaktır. Diğer tüm durumlarda bu, p yanlış veya Q doğru olduğunda P ⇒ Q önermesinin doğru olacağı anlamına gelir. Bu ifadeyi, yanlışın F ile, doğrunun da T ile temsil edileceği bir doğruluk tablosu yardımıyla gösterebiliriz. 'Eğer P ise Q' ifadesinin doğruluk tablosu şu şekilde anlatılmaktadır:
| P | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Öncüllerin ve sonucun birbiriyle ilişkili olması zorunlu değildir. P ve Q'nun formülasyonuna dayanarak doğruluk tablosunun yorumu bağımlıdır.
Örneğin:
- Jack plastikten yapılmışsa Okyanus yeşildir.
- Açıklama: Jack plastikten yapılmıştır
- Açıklama: Okyanus yeşildir
Yukarıdaki iki ifade hiçbir anlam ifade etmiyor çünkü Jack bir insandır ve asla plastikten yapılamaz ve başka bir ifade olan Okyanus yeşildir hiçbir zaman gerçekleşmeyecektir çünkü okyanus her zaman mavidir ve Okyanusun rengi değiştirilemez. Görüldüğü gibi her iki ifadenin de birbiriyle alakası yoktur. Diğer taraftan P ⇒ Q ifadesinin doğruluk tablosu geçerlidir. Yani mesele doğruluk tablosunun doğru olup olmadığı değil, hayal gücü ve yorum meselesidir.
Yani P ⇒ Q'da öncül ile sonuç arasında herhangi bir bağlantıya ihtiyacımız yok. P ve Q'nun gerçek değeri temelinde yalnızca bunların anlamı bağlıdır.
Her iki ifadeyi de dünyamız için dikkate alsak bile bu ifadeler de yanlış olacaktır.
False ⇒ False
Yukarıdaki doğruluk tablosuna baktığımızda, P yanlış ve Q yanlış olduğunda P ⇒ Q'nun doğru olduğunu görüyoruz.
Yani Jack plastikten yapılmışsa Okyanus yeşil olacaktır.
Ancak p öncülü ve q sonucu birbiriyle ilişkili olacaktır ve her iki ifade de anlamlıdır.
Belirsizlik
Örtük operatörde bir belirsizlik olabilir. Yani ima operatörünü (⇒) kullandığımızda bu noktada parantez kullanmalıyız.
Örneğin: Bu örnekte, belirsiz bir P ⇒ Q ⇒ R ifademiz var. Şimdi, ((P ⇒ Q) ⇒ R) veya (P ⇒ (Q ⇒ R)) olmak üzere iki belirsiz ifademiz var ve bu ifadelerin olup olmadığını göstermemiz gerekiyor. benzerdir veya değildir.
Çözüm: Bunu aşağıda açıklanan doğruluk tablosu yardımıyla kanıtlayacağız:
| P | Q | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
Yukarıdaki doğruluk tablosunda P ⇒ (Q ⇒ R) ve (P ⇒ Q) ⇒ R'nin doğruluk tablosunun benzer olmadığını görebiliriz. Dolayısıyla her ikisi de farklı çıktılar veya sonuçlar üretecektir.
Uygulama hakkında daha fazla bilgi
Diğer bazı Uygulama örnekleri aşağıda açıklanmaktadır:
- Hava güneşliyse okula gideceğim.
- İyi bir iş bulursam para kazanacağım.
- İyi notlar alırsam ailem mutlu olacak.
Yukarıdaki örneklerin hepsinde kafamız karışıyor çünkü bir imanın ne zaman doğru, ne zaman yanlış olarak kabul edileceğini bilmiyoruz. Bu sorunu çözmek ve ima kavramını anlamak için varsayımsal bir örnek kullanacağız. Bu örnekte, Marry'nin erkek arkadaşı Jack ile badminton oynayacağını ve erkek arkadaşı Jack'in Marry'yi biraz motive etmek istediğini ve bu nedenle onu bir açıklamayla baştan çıkardığını varsayacağız:
'If you win then I will buy a ring for you'
Bu ifadeyle Jack, eğer evlenmeyi kazanırsa, o zaman açıkça bir yüzük alacağını kastetmektedir. Bu açıklamayla Jack, yalnızca Marry kazandığında kendini adamıştır. Zaten Mary kaybettiğinde hiçbir şey yapmadı. Yani maçın sonunda yalnızca dört olasılık olabilir ve bunlar aşağıda açıklanmıştır:
- Evlenirsen kazanırsın - bir yüzük al.
- Evlenirsen kazanırsın; yüzük satın alma.
- Evlenmek kaybeder - bir yüzük satın alın.
- Evlenmek kaybeder; yüzük almayın.
Ancak Jack (B) kuralına ilişkin herhangi bir açıklama yapmadı. Ayrıca açıklamasında (C) ve (D) numaralı kurallardan da bahsetmedi, yani Marry kaybederse, ona yüzük alıp almamak tamamen Jack'e kalmış. Aslında (A), (C) ve (D) ifadeleri Jack'in Evlenmek için söylediği ifadenin sonucu olabilir, ancak (B) sonuç olmayacaktır. Eğer sonuç (B) gerçekleşirse, ancak o zaman Jack yalan söylerken yakalanacaktır. Diğer üç durumda, yani (A), (C) ve (D)'de doğruyu söylemiş olacaktır.
Şimdi daha basit olan ifadeyi kullanacağız, böylece Jack'in ifadesini sembolik olarak şu şekilde tanımlayabiliriz:
P: you win Q: I will buy a ring for you
Bu anlamda, 'ima' olarak okunabilecek mantıksal sembol ⇒'yi kullanıyoruz. Bu oku P'den Q'ya şu şekilde koyarak Jack'in Bileşik ifadesini oluşturacağız:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Sonuç olarak, imanın yalnızca P doğru ve q yanlış olduğunda yanlış olacağını gözlemledik. Bu açıklamaya göre oyunu Marry kazanır ancak Jack ne yazık ki yüzük almaz. Diğer tüm durumlarda/sonuçlarda ifade doğru olacaktır. Buna göre, çıkarım için doğruluk tablosu şu şekilde açıklanmaktadır:
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Bu çıkarım için karşılık gelen mantık denklemlerinin listesi aşağıdaki gibi açıklanmaktadır:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Uygulama Örnekleri:
Çeşitli çıkarım örnekleri vardır ve bunlardan bazıları aşağıda açıklanmıştır:
Örnek 1: Diyelim ki P, Q, R ve S olmak üzere dört ifade var;
P: Jack okulda
Soru: Jack öğretiyor
R: Jack uyuyor
D: Jack hasta
Şimdi bu basit ifadelerle ilgili bazı sembolik ifadeleri tanımlayacağız.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Burada bu sembolik ifadelerin yorumunun kelimelere dönüştürülmesini göstermemiz gerekiyor.
Çözüm:
| P → R | Eğer Jack okuldaysa, Jack öğretiyor demektir. |
| S → ~P | Jack hastaysa okulda değildir. |
| ~Q → (S ∧ R) | Eğer Jack öğretmiyorsa hastadır ve uyuyordur. |
| (P ∨ R) → ~Q | Eğer Jack okuldaysa ya da uyuyorsa, o zaman ders vermiyordur. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Jack uyumuyorsa ve hasta değilse, o zaman okulda öğretmenlik yapıyor ya da yapmıyordur. |
Örnek 2: Bu örnekte, bir P → Q çıkarımımız var. Burada ayrıca bu çıkarımla doğal olarak ilişkilendirilen, çıkarımın tersi, pozitif ve ters olan üç bileşik ifademiz daha var. Bu dört ifadenin tamamı arasındaki ilişki aşağıdaki şekilde açıklanan bir tablo yardımıyla açıklanmaktadır:
| İma | P → S |
| sohbet | S → P |
| Ters | ~P → ~Q |
| Karşıt pozitif | ~S → ~P |
Şimdi 'İyi çalışırsanız iyi notlar alırsınız' ifadesini içeren bir çıkarım örneğini ele alacağız. Bu ifade P → Q biçimindedir; burada
P: iyi çalışıyorsun
Soru: İyi notlar alıyorsun
Şimdi P ve Q ifadelerini kullanacağız ve dört ilişkili ifadeyi şu şekilde göstereceğiz:
İma: İyi çalışırsanız iyi notlar alırsınız.
Sohbet: İyi notlar alırsanız iyi çalışırsınız.
Ters: İyi çalışmazsanız iyi not alamazsınız.
Karşıt pozitif: İyi not alamazsanız iyi ders çalışamazsınız.
Yukarıdaki tüm ilişkili ifadelerin doğruluk değerleri, aşağıda açıklanan bir doğruluk tablosu yardımıyla açıklanmaktadır.
| P | Q | ~P | ~S | P → S | S → P | ~P → ~Q | ~S → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
Yukarıdaki tabloda, imanın (P → Q) ve onun karşıt pozitifinin (~Q → ~P) sütunlarında aynı değere sahip olduğunu görebiliriz. Bu, her ikisinin de eşdeğer olduğu anlamına gelir. Yani şunu söyleyebiliriz:
P → Q = ~Q → ~P
Benzer şekilde, hem tersinin hem de tersinin sütunlarında benzer değerlere sahip olduğunu görebiliriz. Ancak bu hiçbir fark yaratmayacaktır çünkü tersi, tersinin zıt pozitifidir. Benzer şekilde, orijinal çıkarım, karşıt-pozitifin karşıt-pozitifinden elde edilebilir. (Bu, P ve Q'yu olumsuzlarsak ve ardından okun yönünü değiştirirsek ve ardından işlemi tekrar tekrar edersek, yani ~P ve ~Q'yu olumsuzlarsak ve tekrar okun yönünü değiştirirsek, bu durumda şunu elde ederiz: başladığımız yere geri döndük).