Önkoşullar: BİRAZ Her biri yatay veya dikey olan 'n' doğru parçası verildiğinde, doğru parçalarının kesişim noktalarının birleştirilmesiyle oluşturulabilecek maksimum üçgen sayısını (sıfır alanlı üçgenler dahil) bulun. Hiçbir iki yatay çizgi parçası üst üste binmez ve iki dikey çizgi parçası da örtüşmez. Bir çizgi iki nokta kullanılarak temsil edilir (dört tam sayının ilk ikisi sırasıyla birinci noktanın x ve y koordinatlarıdır ve diğer ikisi ikinci noktanın x ve y koordinatlarıdır) Örnekler:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Fikir dayanmaktadır Süpürme Hattı Algoritması . Adımlarla bir çözüm oluşturmak:
java karşılaştırılabilir arayüz
- Tüm doğru parçalarının her iki noktasını karşılık gelen olayla (aşağıda açıklanmıştır) bir vektörde saklayın ve tüm noktaları, x koordinatlarına göre azalmayacak şekilde sıralayın.
- Şimdi tüm bu noktaların üzerinden geçen dikey bir çizgi hayal edelim ve bulunduğumuz noktaya göre 3 olayı anlatalım:
- A dikey çizgi
- Bölgeyi çağırıyoruz 'aktif' veya yatay çizgiler 'aktif' ilk olayı yaşadılar ama ikinciyi yaşamadılar. Tüm aktif hatların 'y' koordinatlarını saklamak için bir BIT'e (İkili indeksli ağaç) sahip olacağız.
- Bir satır devre dışı kaldığında onun 'y'sini BIT'ten kaldırırız.
- Üçüncü türden bir olay meydana geldiğinde, yani dikey bir çizgide olduğumuzda, ağacı 'y' koordinatları aralığında sorgularız ve sonucu o ana kadarki kesişme noktalarının sayısına ekleriz.
- Son olarak kesişme noktalarının sayısına sahip olacağız M o zaman üçgenlerin sayısı (sıfır alanı dahil) olacaktır MC3 .
içinde - yatay bir çizgi parçasının en sol noktasıdışarı - yatay çizgi parçasının en sağ noktasıNot: Baktığımız noktaları dikkatli bir şekilde sıralamamız gerekiyor. cmp() açıklığa kavuşturmak için uygulamada işlev görür.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Çıkış:
java karşılaştırılabilir
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Yardımcı Alan: O(maxy) burada maxy = 1000005