Dar, geniş, ikizkenar, eşkenar… Konu üçgenlere gelince, pek çok farklı çeşidi vardır, ancak 'özel' olan sadece birkaç seçenektir. Bu özel üçgenlerin tutarlı ve öngörülebilir kenarları ve açıları vardır ve geometri veya trigonometri problemlerinizde yolunuzu kısaltmak için kullanılabilirler. Ve 30-60-90 üçgeni -'otuz altmış doksan' olarak telaffuz edilir- gerçekten de çok özel bir üçgen türüdür.

Bu kılavuzda, 30-60-90 üçgeninin ne olduğu, neden işe yaradığı ve bu konudaki bilginizi ne zaman (ve nasıl) kullanacağınız konusunda size yol göstereceğiz. O halde hadi konuya geçelim!

30-60-90 Üçgeni Nedir?

30-60-90 üçgeni, her zaman 30 derece, 60 derece ve 90 derecelik açılara sahip olan özel bir dik üçgendir (bir dik üçgen, 90 derecelik bir açı içeren herhangi bir üçgendir). Özel bir üçgen olduğundan her zaman birbiriyle tutarlı bir ilişki içinde olan kenar uzunluk değerlerine de sahiptir.

Temel 30-60-90 üçgen oranı:

30° açının karşısındaki kenar: $x$

60° açının karşısındaki kenar: $x * √3$

90° açının karşısındaki taraf: x$

Örneğin, 30-60-90 derecelik bir üçgenin kenar uzunlukları şu şekilde olabilir:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

Java'da dize neden değişmez?

(Neden uzun kenar 3? Bu üçgende, en kısa kenar ($x$) $√3$'dır, dolayısıyla daha uzun kenar için $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. Ve hipotenüs en kısa kenarın 2 katıdır veya 2√3$)

Ve benzeri.

30° açının karşısındaki kenar her zaman en küçüktür Çünkü 30 derece en küçük açıdır. 60° açının karşısındaki kenar orta uzunluk olacaktır çünkü 60 derece bu üçgenin orta dereceli açısıdır. Ve son olarak, 90° açının karşısındaki kenar her zaman en büyük kenar olacaktır (hipotenüs) Çünkü 90 derece en büyük açıdır.

Diğer dik üçgen türlerine benzese de, 30-60-90 üçgeninin bu kadar özel olmasının nedeni, diğer tüm ölçümleri bulmak için yalnızca üç parça bilgiye ihtiyaç duymanızdır. İki açı ölçüsünün ve bir kenar uzunluğunun değerini bildiğiniz sürece (hangi kenar olduğu önemli değil), üçgeniniz hakkında bilmeniz gereken her şeyi biliyorsunuzdur.

Örneğin aşağıdaki üçgenlerde kalan tüm bilgi boşluklarını doldurmak için 30-60-90 üçgen formülünü kullanabiliriz.

örnek 1

Bunun, hipotenüsün kenarlardan birinin uzunluğunun iki katı olduğu bir dik üçgen olduğunu görebiliriz. Bu, bunun bir 30-60-90 üçgeni olması gerektiği ve verilen daha küçük kenarın 30°'nin karşısında olduğu anlamına gelir.

Bu nedenle uzun bacak 60° açının karşısında olmalı ve 6 $ * √3$ veya 6√3$ ölçülmelidir.

Örnek 2

java dizesinin alt dizesi

Bunun bir 30-60-90 üçgeni olması gerektiğini görebiliyoruz çünkü bunun belirli bir ölçüsü olan 30° olan bir dik üçgen olduğunu görebiliyoruz. Bu durumda işaretlenmemiş açı 60° olmalıdır.

18, 60° açının karşısındaki ölçü olduğundan $x√3$'a eşit olmalıdır. Bu durumda en kısa bacağın 18$/√3$ olması gerekir.

(Bacak uzunluğunun aslında /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ olacağını unutmayın çünkü bir payda radikal/karekök içeremez).

Ve hipotenüs (18/√3)$ olacak

(Yine, paydada bir radikal olamayacağını unutmayın, dolayısıyla son cevap gerçekten √3$ => √3$'ın bacak uzunluğunun 2 katı olacaktır).

Örnek 3

Yine bize iki açı ölçüsü (90° ve 60°) veriliyor, dolayısıyla üçüncü ölçü 30° olacak. Bu 30-60-90 üçgeni olduğundan ve hipotenüs 30 olduğundan, en kısa kenar 15, uzun kenar ise 15√3 olacaktır.

Sihirli sekiz topa başvurmanıza gerek yok; bu kurallar her zaman işe yarar.

Neden Çalışıyor: 30-60-90 Üçgen Teoremi Kanıtı

Peki bu özel üçgen neden bu şekilde çalışıyor? Bu kuralların yasal olduğunu nasıl bilebiliriz? 30-60-90 üçgen teoreminin tam olarak nasıl çalıştığını inceleyelim ve bu kenar uzunluklarının neden her zaman tutarlı olacağını kanıtlayalım.

Öncelikle dik üçgenleri bir anlığına unutalım ve bir bakalım. eşkenar üçgen.

Eşkenar üçgen, tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan bir üçgendir. Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180° olduğundan ve 180$/3 = 60$ olduğundan, bir eşkenar üçgenin her zaman 60°'lik üç açısı olacaktır.

gizli uygulamalar

Şimdi üçgenin en üst köşesinden tabanına kadar bir yükseklik düşürelim.

Artık elimizde iki dik açı ve iki uyumlu (eşit) üçgen yarattı.

Bunların eşit üçgen olduğunu nasıl biliyoruz? Çünkü bir yükseklikten düştük eşkenar Üçgende tabanı tam olarak ikiye böldük. Yeni üçgenler aynı zamanda bir kenar uzunluğunu (yükseklik) paylaşıyor ve her biri aynı hipotenüs uzunluğuna sahip. Üç kenar uzunluğunu ortak olarak paylaştıklarından (SSS), bu şu anlama gelir: üçgenler eştir.

Not: İki üçgen yalnızca kenar-kenar-kenar uzunlukları veya SSS ilkelerine dayalı olarak uyumlu değildir, aynı zamanda kenar-açı-kenar ölçülerine (SAS), açı-açı-kenar (AAS) ve açı-kenara dayalıdır. yan açı (ASA). Temel olarak? Kesinlikle uyumludurlar.

Artık iki yeni üçgenin eşliğini kanıtladığımıza göre, üst açıların her birinin 30 dereceye eşit olması gerektiğini görebiliriz (çünkü her üçgenin zaten 90° ve 60° açıları vardır ve toplamı 180° olmalıdır). Bu şu anlama gelir iki adet 30-60-90 üçgeni yaptık.

Eşkenar üçgenin tabanını ikiye böldüğümüzü bildiğimiz için, 30-60-90 üçgenlerimizin her birinin 30° açısının karşısındaki kenarın (en kısa kenar) hipotenüsün uzunluğunun tam yarısı olduğunu görebiliriz. .

O halde orijinal kenar uzunluğumuza $x$ ve ikiye bölünmüş uzunluğumuza $x/2$ ​​diyelim.

Şimdi bize kalan tek şey iki üçgenin paylaştığı orta kenar uzunluğunu bulmak. Bunu yapmak için Pisagor teoremini kullanabiliriz.

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b = {√3x}/2$

Yani elimizde şu kalıyor: $x/2, {x√3}/2, x$

Şimdi hayatı kolaylaştırmak ve tüm kesirlerden kaçınmak için her ölçüyü 2 ile çarpalım. Böylece elimizde kalanlar:

$x$, $x√3$, x$

Dolayısıyla 30-60-90 üçgeninin Her zaman $x$, $x√3$ ve x$ (veya $x/2$, ${√3x}/2$ ve $x$) tutarlı kenar uzunluklarına sahiptir.

Şanslıyız ki, tüm bunlara gerek kalmadan 30-60-90 üçgeni kurallarının doğru olduğunu kanıtlayabiliriz.

30-60-90 Üçgen Kuralları Ne Zaman Kullanılır?

30-60-90 üçgeninin kurallarını bilmek, birçok farklı matematik probleminde, yani çok çeşitli geometri ve trigonometri problemlerinde zamandan ve enerjiden tasarruf etmenizi sağlayacaktır.

Geometri

30-60-90 üçgenlerini doğru şekilde anlamak, bu oran kurallarını bilmeden çözülmesi imkansız olan veya en azından 'uzun yol'u çözmek için önemli miktarda zaman ve çaba gerektiren geometri sorularını çözmenize olanak sağlayacaktır.

Özel üçgen oranları ile eksik üçgen yüksekliklerini veya bacak uzunluklarını (Pisagor teoremini kullanmaya gerek kalmadan) bulabilir, eksik yükseklik veya taban uzunluğu bilgisini kullanarak üçgenin alanını bulabilir ve çevresini hızlı bir şekilde hesaplayabilirsiniz.

java giriş dizesi

Bir soruyu yanıtlamak için hıza ihtiyaç duyduğunuzda, 30-60-90 kurallarınız gibi kısayolları hatırlamak işinize yarayacaktır.

Trigonometri

30-60-90 üçgen oranını ezberlemek ve anlamak, birçok trigonometri problemini hesap makinesine ihtiyaç duymadan veya cevaplarınızı ondalık biçimde yaklaşık olarak hesaplamaya gerek kalmadan çözmenize de olanak sağlayacaktır.

30-60-90 üçgeninde her açı için oldukça basit sinüsler, kosinüsler ve teğetler bulunur (ve bu ölçümler her zaman tutarlı olacaktır).

30°'nin sinüsü her zaman /2$ olacaktır.

60°'nin kosinüsü her zaman /2$ olacaktır.

Diğer sinüsler, kosinüsler ve teğetler oldukça basit olmasına rağmen bunlar ezberlenmesi en kolay olan ve testlerde görünmesi muhtemel olanlardır. Dolayısıyla bu kuralları bilmek, bu trigonometri ölçümlerini mümkün olduğunca çabuk bulmanızı sağlayacaktır.

30-60-90 Kurallarını Hatırlamak İçin İpuçları

Bu 30-60-90 oran kurallarının faydalı olduğunu biliyorsunuz ama bilgiyi kafanızda nasıl tutacaksınız? 30-60-90 üçgeni kurallarını hatırlamak, 1: √3 : 2 oranını hatırlamak ve en kısa kenar uzunluğunun her zaman en kısa açının (30°) karşısında olduğunu ve en uzun kenar uzunluğunun her zaman 30°'nin karşısında olduğunu bilmek meselesidir. en büyük açı (90°).

Bazı insanlar şöyle düşünerek oranı ezberlerler: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' çünkü '1, 2, 3' dizisini hatırlamak genellikle kolaydır. Bu tekniği kullanmanın tek önlemi, en uzun kenarın aslında x$ olduğunu hatırlamaktır, Olumsuz $x$ çarpı $√3$.

Oranlarınızı hatırlamanın başka bir yolu da 1: kök 3: 2 oranında uygun sırayla anımsatıcı bir kelime oyunu kullanın. Örneğin, 'Jackie Mitchell, Lou Gehrig'i mağlup etti ve 'Ruthy'yi de kazandı': bir, kök üç, iki. (Ve bu gerçek bir beyzbol tarihi gerçeğidir!)

Bunlar ilginizi çekmiyorsa kendi anımsatıcı cihazlarınızla oynayın; bir şarkının oranını söyleyin, kendi 'bir, kök üç, iki' cümlelerinizi bulun veya bir oran şiiri bulun. Hatta ezberlemekten hoşlanmıyorsanız, 30-60-90 üçgeninin eşkenarın yarısı olduğunu hatırlayıp ölçüleri buradan hesaplayabilirsiniz.

Ancak bu 30-60-90 kurallarını hatırlamanız, gelecekteki geometri ve trigonometri sorularınız için bu oranları aklınızda tutmanız size mantıklı gelecektir.

Ezberlemek senin dostundur, ancak bunu gerçekleştirebilirsin.

Örnek 30-60-90 Sorular

Artık 30-60-90 üçgenlerinin nasıl ve nedenlerine baktığımıza göre, bazı pratik problemler üzerinde çalışalım.

Geometri

Bir inşaat işçisi 40 metrelik bir merdiveni yerden 30 derecelik bir açıyla bir binanın yan tarafına yaslıyor. Zemin düz olup binanın yan tarafı yere diktir. Merdiven binanın en yakın ayağına ne kadar kadar ulaşıyor?

30-60-90 özel üçgen kurallarımızı bilmeden, bu sorunun çözümünü bulmak için trigonometri ve hesap makinesi kullanmak zorunda kalacağız çünkü bir üçgenin yalnızca bir kenar ölçüsüne sahibiz. Ama bunun bir şey olduğunu bildiğimiz için özel üçgen, cevabı birkaç saniye içinde bulabiliriz.

Bina ve zemin birbirine dik ise bu, bina ile zeminin dik (90°) açı oluşturduğu anlamına gelmelidir. Ayrıca merdivenin yerle 30° açıyla buluştuğu da kabul edilmiştir. Dolayısıyla kalan açının 60° olması gerektiğini görebiliriz, bu da bunu 30-60-90 üçgeni yapar.

Artık bu 30-60-90'ın hipotenüsünün (en uzun kenarının) 40 feet olduğunu biliyoruz, bu da en kısa kenarın bu uzunluğun yarısı olacağı anlamına gelir. (En uzun kenarın her zaman en kısa kenarın iki katı (x$) uzunluğunda olduğunu unutmayın.) En kısa kenar 30° açının karşısında olduğundan ve bu açı merdivenin yerden derece ölçüsü olduğundan, bu şu anlama gelir: merdivenin tepesi yerden 20 fit yükseklikte binaya çarpıyor.

Son cevabımız 20 feet.

css altı çizili metin

Trigonometri

Bir dik üçgende sin Θ = /2$ ve en kısa kenar uzunluğu 8 ise. Hipotenüs OLMAYAN eksik tarafın uzunluğu nedir?

30-60-90 kurallarını bildiğiniz için, bu problemi Pisagor teoremine veya hesap makinesine ihtiyaç duymadan çözebilirsiniz.

Bize bunun bir dik üçgen olduğu söylendi ve özel dik üçgen kurallarımızdan sinüs 30° = /2$ olduğunu biliyoruz. Bu nedenle eksik açının 60 derece olması gerekir, bu da bunu 30-60-90 üçgeni yapar.

Ve bu bir 30-60-90 üçgeni olduğundan ve bize en kısa kenarın 8 olduğu söylendiğinden, hipotenüs 16 olmalı ve eksik kenar * √3$ veya √3$ olmalıdır.

Son cevabımız 8√3.

Paket Servisler

Hatırlamak 30-60-90 üçgenlerine ilişkin kurallar, çeşitli matematik problemlerinde yolunuzu kestirmenize yardımcı olacaktır . Ancak unutmayın ki, bu kuralları bilmek elinizin altında bulundurmanız gereken kullanışlı bir araç olsa da çoğu sorunu onlar olmadan da çözebilirsiniz.

$x$, $x√3$, x$ ve 30-60-90 kurallarını size ne şekilde anlamlı geliyorsa takip edin ve yapabiliyorsanız bunları düz tutmaya çalışın, ancak aklınız karışırsa paniğe kapılmayın kriz zamanı geldiğinde boşalır. Her iki durumda da, buna sahipsin.

Daha fazla pratiğe ihtiyacınız varsa devam edin ve buna göz atın 30-60-90 üçgen testi . Mutlu sınavlar!